$p$ を定数とする。関数 $y=(x^2-2x)^2+6p(x^2-2x)+3p+1$ の最小値を $m$ とする。 (1) 最小値 $m$ を $p$ の式で表せ。 (2) $m$ の最大値を求めよ。

1. 問題の内容

$p$ を定数とする。関数 $y=(x^2-2x)^2+6p(x^2-2x)+3p+1$ の最小値を $m$ とする。

(1) 最小値 $m$ を $p$ の式で表せ。

(2) $m$ の最大値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

まず、$t = x^2 - 2x$ とおくと、$y = t^2 + 6pt + 3p + 1$ となる。

次に、$t = x^2 - 2x = (x - 1)^2 - 1$ であるから、$t \ge -1$ である。

$y$ を $t$ で平方完成すると、

$y = (t + 3p)^2 - 9p^2 + 3p + 1$ となる。

ここで、$t \ge -1$ であることに注意して、最小値を考える。

(i) $-3p \ge -1$ つまり $p \le \frac{1}{3}$ のとき、

$t = -1$ で最小となり、

$m = (-1 + 3p)^2 - 9p^2 + 3p + 1 = 1 - 6p + 9p^2 - 9p^2 + 3p + 1 = -3p + 2$

(ii) $-3p < -1$ つまり $p > \frac{1}{3}$ のとき、

$t = -3p$ で最小となり、

$m = -9p^2 + 3p + 1$

以上より、

$m = \begin{cases} -3p + 2 & (p \le \frac{1}{3}) \\ -9p^2 + 3p + 1 & (p > \frac{1}{3}) \end{cases}$

(2)

(i) $p \le \frac{1}{3}$ のとき、

$m = -3p + 2$ は $p$ が小さいほど大きくなるので、$p = \frac{1}{3}$ のとき最大となり、$m = -3(\frac{1}{3}) + 2 = 1$

(ii) $p > \frac{1}{3}$ のとき、

$m = -9p^2 + 3p + 1 = -9(p^2 - \frac{1}{3}p) + 1 = -9(p - \frac{1}{6})^2 + 9(\frac{1}{36}) + 1 = -9(p - \frac{1}{6})^2 + \frac{1}{4} + 1 = -9(p - \frac{1}{6})^2 + \frac{5}{4}$

$m$ は $p = \frac{1}{6}$ で最大となるが、$\frac{1}{6} > \frac{1}{3}$を満たさないので、$p \to \frac{1}{3}$ で$m$は最大値に近づき、$m$ の最大値は$\frac{5}{4}$より小さい値となる。$\lim_{p \to \frac{1}{3}+0} -9p^2 + 3p + 1 = -9(\frac{1}{9}) + 3(\frac{1}{3}) + 1 = -1 + 1 + 1 = 1$.

$m$ は $p \le \frac{1}{3}$ のとき $m = -3p + 2$ であり、$p > \frac{1}{3}$ のとき $m = -9p^2 + 3p + 1$ であるから、$m$ の最大値は $p = \frac{1}{3}$ のときの $m = 1$ である。また、$m = -9p^2 + 3p + 1 = -9(p - \frac{1}{6})^2 + \frac{5}{4}$ であり、$p > \frac{1}{3}$ であるので、$m = 1$ が最大値となる。

3. 最終的な答え

(1) $m = \begin{cases} -3p + 2 & (p \le \frac{1}{3}) \\ -9p^2 + 3p + 1 & (p > \frac{1}{3}) \end{cases}$

(2) $\frac{5}{4}$