与えられた連立一次方程式 $3x - 7y + 5z = 0$ $x + y - z = 6$ $2x + 3y - 4z = 9$ を行基本変形を用いて解け。

1. 問題の内容

与えられた連立一次方程式

$3x - 7y + 5z = 0$

$x + y - z = 6$

$2x + 3y - 4z = 9$

を行基本変形を用いて解け。

2. 解き方の手順

与えられた連立一次方程式を行列で表現すると以下のようになる。

$\begin{bmatrix} 3 & -7 & 5 \\ 1 & 1 & -1 \\ 2 & 3 & -4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 6 \\ 9 \end{bmatrix}$

拡大係数行列は

$\begin{bmatrix} 3 & -7 & 5 & 0 \\ 1 & 1 & -1 & 6 \\ 2 & 3 & -4 & 9 \end{bmatrix}$

1行目と2行目を入れ替える。

$\begin{bmatrix} 1 & 1 & -1 & 6 \\ 3 & -7 & 5 & 0 \\ 2 & 3 & -4 & 9 \end{bmatrix}$

2行目から1行目の3倍を引く。

3行目から1行目の2倍を引く。

$\begin{bmatrix} 1 & 1 & -1 & 6 \\ 0 & -10 & 8 & -18 \\ 0 & 1 & -2 & -3 \end{bmatrix}$

2行目と3行目を入れ替える。

$\begin{bmatrix} 1 & 1 & -1 & 6 \\ 0 & 1 & -2 & -3 \\ 0 & -10 & 8 & -18 \end{bmatrix}$

3行目に2行目の10倍を加える。

$\begin{bmatrix} 1 & 1 & -1 & 6 \\ 0 & 1 & -2 & -3 \\ 0 & 0 & -12 & -48 \end{bmatrix}$

3行目を-12で割る。

$\begin{bmatrix} 1 & 1 & -1 & 6 \\ 0 & 1 & -2 & -3 \\ 0 & 0 & 1 & 4 \end{bmatrix}$

2行目に3行目の2倍を加える。

$\begin{bmatrix} 1 & 1 & -1 & 6 \\ 0 & 1 & 0 & 5 \\ 0 & 0 & 1 & 4 \end{bmatrix}$

1行目に3行目を加える。

$\begin{bmatrix} 1 & 1 & 0 & 10 \\ 0 & 1 & 0 & 5 \\ 0 & 0 & 1 & 4 \end{bmatrix}$

1行目から2行目を引く。

$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 5 \\ 0 & 1 & 0 & 5 \\ 0 & 0 & 1 & 4 \end{bmatrix}$

したがって、$x=5$, $y=5$, $z=4$

3. 最終的な答え

$x = 5, y = 5, z = 4$