与えられた行列 $A = \begin{bmatrix} -6 & 6 \\ -2 & 2 \end{bmatrix}$ について、以下の問題を解きます。 (1) 核 Ker $A$ を求め、図示する。 (2) 像 Im $A$ を求め、図示する。

1. 問題の内容

与えられた行列 $A = \begin{bmatrix} -6 & 6 \\ -2 & 2 \end{bmatrix}$ について、以下の問題を解きます。

(1) 核 Ker $A$ を求め、図示する。

(2) 像 Im $A$ を求め、図示する。

2. 解き方の手順

(1) 核 Ker $A$ を求める。

Ker $A$ は $A\mathbf{x} = \mathbf{0}$ を満たすベクトル $\mathbf{x} = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix}$ の集合です。

$A\mathbf{x} = \begin{bmatrix} -6 & 6 \\ -2 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -6x_1 + 6x_2 \\ -2x_1 + 2x_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}$

この連立方程式を解くと、$x_1 - x_2 = 0$ となり、$x_1 = x_2$ が得られます。

したがって、Ker $A$ は $\begin{bmatrix} x_1 \\ x_1 \end{bmatrix} = x_1 \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}$ と表されます。

これは $\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}$ を方向ベクトルとする直線です。

図示する場合は、$y=x$の直線を描きます。

(2) 像 Im $A$ を求める。

Im $A$ は行列 $A$ の列ベクトルによって張られる空間です。

$A = \begin{bmatrix} \mathbf{a}_1 & \mathbf{a}_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -6 \\ -2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 6 \\ 2 \end{bmatrix}$ とおくと、$\mathbf{a}_2 = -\mathbf{a}_1$ となります。

$\mathbf{x} = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix}$ に対して、$A\mathbf{x} = x_1\mathbf{a}_1 + x_2\mathbf{a}_2 = (x_1 - x_2)\mathbf{a}_1 = (x_1 - x_2)\begin{bmatrix} -6 \\ -2 \end{bmatrix}$ となります。

したがって、Im $A$ は $\begin{bmatrix} -6 \\ -2 \end{bmatrix}$ によって張られる直線です。

これは $y = \frac{1}{3}x$ の直線です。

3. 最終的な答え

(1) Ker $A = \{ c \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix} \mid c \in \mathbb{R} \}$ ( $y=x$ の直線)

(2) Im $A = \{ c \begin{bmatrix} -6 \\ -2 \end{bmatrix} \mid c \in \mathbb{R} \}$ ( $y = \frac{1}{3}x$ の直線)