与えられた3つの行列の階数（ランク）を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた3つの行列の階数（ランク）を求める問題です。

2. 解き方の手順

(1)

行列 $\begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}$ の行列式を計算します。

$3 \times 3 - 2 \times 2 = 9 - 4 = 5 \neq 0$

行列式が0でないため、この行列はフルランクであり、階数は2です。

(2)

行列 $\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ について考えます。

この行列はすでに階段行列の形になっています。

線形独立な行の数は2なので、階数は2です。

(3)

行列 $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 3 \\ 2 & 3 & 2 & 4 \\ 0 & 1 & -1 & 1 \end{pmatrix}$ に対して行基本変形を行います。

2行目から1行目の2倍を引きます。

$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 3 \\ 0 & -1 & -4 & -2 \\ 0 & 1 & -1 & 1 \end{pmatrix}$

3行目に2行目を加えます。

$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 3 \\ 0 & -1 & -4 & -2 \\ 0 & 0 & -5 & -1 \end{pmatrix}$

この行列は階段行列の形になりました。線形独立な行の数は3なので、階数は3です。

3. 最終的な答え

(1) 2

(2) 2

(3) 3