$\mathbb{R}[x]_3$ のベクトル $1, x, x^2, x^3$ が1次独立であることを確かめる問題です。

1. 問題の内容

$\mathbb{R}[x]_3$ のベクトル $1, x, x^2, x^3$ が1次独立であることを確かめる問題です。

2. 解き方の手順

ベクトル $1, x, x^2, x^3$ が1次独立であるとは、

$c_1 \cdot 1 + c_2 \cdot x + c_3 \cdot x^2 + c_4 \cdot x^3 = 0$ が成り立つとき、$c_1 = c_2 = c_3 = c_4 = 0$ であることを示せばよい。

$c_1 + c_2 x + c_3 x^2 + c_4 x^3 = 0$

この等式は、すべての $x$ について成り立つ必要があります。

$x$ にいくつかの具体的な値を代入することで、係数 $c_1, c_2, c_3, c_4$ についての連立方程式を立てることができます。

例えば、$x = 0$ を代入すると、

$c_1 + c_2(0) + c_3(0)^2 + c_4(0)^3 = 0$

$c_1 = 0$

次に、$c_1 = 0$ を元の式に代入すると、

$c_2 x + c_3 x^2 + c_4 x^3 = 0$

$x(c_2 + c_3 x + c_4 x^2) = 0$

$x \neq 0$ のとき、$c_2 + c_3 x + c_4 x^2 = 0$

$x=0$を代入する以外の方法として、$c_1 + c_2 x + c_3 x^2 + c_4 x^3$ が恒等的に0であることから、$x$に関する各次数の係数はすべて0でなければならないという性質を用いる。

$c_1 = 0$

$c_2 = 0$

$c_3 = 0$

$c_4 = 0$

よって、$c_1 = c_2 = c_3 = c_4 = 0$ となります。

したがって、$1, x, x^2, x^3$ は1次独立です。

3. 最終的な答え

ベクトル $1, x, x^2, x^3$ は1次独立である。