2次正方行列 $X$ で、$X^2 = E$ を満たすものをすべて求める問題です。ここで、$E$ は2次の単位行列を表します。

1. 問題の内容

2次正方行列 $X$ で、$X^2 = E$ を満たすものをすべて求める問題です。ここで、$E$ は2次の単位行列を表します。

2. 解き方の手順

$X = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ とおきます。このとき、$X^2 = X \cdot X$ を計算すると

$X^2 = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a^2 + bc & ab + bd \\ ac + cd & bc + d^2 \end{pmatrix}$

これが単位行列 $E = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ に等しくなるので、次の連立方程式を得ます。

\begin{align*} a^2 + bc &= 1 \\ ab + bd &= 0 \\ ac + cd &= 0 \\ bc + d^2 &= 1 \end{align*}

2番目の式から $b(a+d) = 0$、3番目の式から $c(a+d) = 0$ が得られます。

(1) $a+d \neq 0$ のとき、$b=0$ かつ $c=0$ となります。

このとき、連立方程式は $a^2 = 1$ かつ $d^2 = 1$ となるので、$a = \pm 1$ かつ $d = \pm 1$ です。

したがって、$X = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$, $X = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$, $X = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$, $X = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$ が解となります。

(2) $a+d = 0$ のとき、$d = -a$ となります。

このとき、連立方程式の1番目の式から $a^2 + bc = 1$、すなわち $bc = 1 - a^2$ となります。

$X = \begin{pmatrix} a & b \\ c & -a \end{pmatrix}$ と表すことができ、$bc = 1 - a^2$ を満たします。

まとめると、求める行列は

$X = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$, $X = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$, $X = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$, $X = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$, $X = \begin{pmatrix} a & b \\ c & -a \end{pmatrix}$ (ただし、$bc = 1-a^2$)

となります。

3. 最終的な答え

$X = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$, $\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$, $\begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$, $\begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$, $\begin{pmatrix} a & b \\ c & -a \end{pmatrix}$ (ただし、$bc = 1-a^2$)