行列 $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ と $B = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 4 & 7 & 8 \\ 3 & 7 & 11 & 12 \end{pmatrix}$ が与えられています。 以下の計算を行いなさい。 (1) $A^2$ (2) $AB$ (3) $^t(B \cdot {}^t A)$

1. 問題の内容

行列 $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ と $B = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 4 & 7 & 8 \\ 3 & 7 & 11 & 12 \end{pmatrix}$ が与えられています。

以下の計算を行いなさい。

(1) $A^2$

(2) $AB$

(3) $^t(B \cdot {}^t A)$

2. 解き方の手順

(1) $A^2$ を計算します。

$A^2 = A \cdot A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2+0+0 & 1+0+1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 4 & 2 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

(2) $AB$ を計算します。

$AB = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 4 & 7 & 8 \\ 3 & 7 & 11 & 12 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1+4+3 & 2+8+7 & 3+14+11 & 4+16+12 \\ 0+2+0 & 0+4+0 & 0+7+0 & 0+8+0 \\ 0+0+3 & 0+0+7 & 0+0+11 & 0+0+12 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8 & 17 & 28 & 32 \\ 2 & 4 & 7 & 8 \\ 3 & 7 & 11 & 12 \end{pmatrix}$

(3) $^t(B \cdot {}^t A)$ を計算します。まず、$^t A$ を計算します。

$^t A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

次に、$B \cdot {}^t A$ を計算します。

$B \cdot {}^t A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 4 & 7 & 8 \\ 3 & 7 & 11 & 12 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1+4+3 & 2 & 3 \\ 2+8+7 & 4 & 7 \\ 3+14+11 & 7 & 11 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8 & 2 & 3 \\ 17 & 4 & 7 \\ 28 & 7 & 11 \end{pmatrix}$

最後に、$^t(B \cdot {}^t A)$ を計算します。

$^t(B \cdot {}^t A) = \begin{pmatrix} 8 & 17 & 28 \\ 2 & 4 & 7 \\ 3 & 7 & 11 \end{pmatrix}$

3. 最終的な答え

(1) $A^2 = \begin{pmatrix} 1 & 4 & 2 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

(2) $AB = \begin{pmatrix} 8 & 17 & 28 & 32 \\ 2 & 4 & 7 & 8 \\ 3 & 7 & 11 & 12 \end{pmatrix}$

(3) $^t(B \cdot {}^t A) = \begin{pmatrix} 8 & 17 & 28 \\ 2 & 4 & 7 \\ 3 & 7 & 11 \end{pmatrix}$