与えられた行列 $A$ による変換によって、直線 $L$ がどのような直線に移されるかを求める問題です。具体的には、以下の2つの場合について考えます。 (1) $A = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 3 & -4 \end{pmatrix}$、 $L: x + 3y = 0$ (2) $A = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$、 $L: 2x - y + 3 = 0$

1. 問題の内容

与えられた行列 $A$ による変換によって、直線 $L$ がどのような直線に移されるかを求める問題です。具体的には、以下の2つの場合について考えます。

(1) $A = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 3 & -4 \end{pmatrix}$、 $L: x + 3y = 0$

(2) $A = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$、 $L: 2x - y + 3 = 0$

2. 解き方の手順

(1) $A = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 3 & -4 \end{pmatrix}$、 $L: x + 3y = 0$ の場合

まず、変換後の座標 $(x', y')$ を元の座標 $(x, y)$ を用いて表します。

$\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = A \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 3 & -4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$

したがって、

$x' = 2x$

$y' = 3x - 4y$

これを $x$ と $y$ について解くと、

$x = \frac{x'}{2}$

$y = \frac{3x' - y'}{4}$

直線 $L$ の方程式 $x + 3y = 0$ に代入すると、

$\frac{x'}{2} + 3(\frac{3x' - y'}{4}) = 0$

$2x' + 3(3x' - y') = 0$

$2x' + 9x' - 3y' = 0$

$11x' - 3y' = 0$

したがって、変換後の直線の方程式は $11x - 3y = 0$ となります。

(2) $A = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$、 $L: 2x - y + 3 = 0$ の場合

同様に、変換後の座標 $(x', y')$ を元の座標 $(x, y)$ を用いて表します。

$\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = A \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$

したがって、

$x' = 2x - y$

$y' = x + 2y$

これを $x$ と $y$ について解きます。

$2x - y = x'$

$x + 2y = y'$

一つ目の式を2倍して、二つ目の式を足すと、

$4x - 2y + x + 2y = 2x' + y'$

$5x = 2x' + y'$

$x = \frac{2x' + y'}{5}$

一つ目の式に2をかけ、二つ目の式から引くと、

$2y + x' = 4x-y$

$y = \frac{2x' -x}{5}$

$x = \frac{2x' + y'}{5}$を$x + 2y = y'$に代入すると、

$\frac{2x'+y'}{5} + 2y = y'$

$2y = y' - \frac{2x'+y'}{5} = \frac{3y' - 2x'}{5}$

$y = \frac{-2x' + 3y'}{10}$

直線 $L$ の方程式 $2x - y + 3 = 0$ に代入すると、

$2(\frac{2x' + y'}{5}) - (\frac{-2x' + 3y'}{10}) + 3 = 0$

$\frac{4x' + 2y'}{5} - \frac{-2x' + 3y'}{10} + 3 = 0$

$8x' + 4y' + 2x' - 3y' + 30 = 0$

$10x' + y' + 30 = 0$

したがって、変換後の直線の方程式は $10x + y + 30 = 0$ となります。

3. 最終的な答え

(1) $11x - 3y = 0$

(2) $10x + y + 30 = 0$