$x, y$ は実数とする。$x > 1$ かつ $y > 1$ は、$x + y > 2$ かつ $xy > 1$ であるための何条件かを答える問題。

1. 問題の内容

$x, y$ は実数とする。$x > 1$ かつ $y > 1$ は、$x + y > 2$ かつ $xy > 1$ であるための何条件かを答える問題。

2. 解き方の手順

まず、$x > 1$ かつ $y > 1$ ならば、$x + y > 2$ かつ $xy > 1$ が成り立つかどうかを調べる。

$x > 1$ かつ $y > 1$ より、

$x + y > 1 + 1 = 2$

$xy > 1 \cdot 1 = 1$

よって、$x + y > 2$ かつ $xy > 1$ が成り立つ。

次に、$x + y > 2$ かつ $xy > 1$ ならば、$x > 1$ かつ $y > 1$ が成り立つかどうかを調べる。

これは成り立たない。反例として、$x = -1, y = -3$ の場合、$x + y = -4 < 2$ であるが、$x = -0.5, y = -3$の時、$x+y = -3.5 < 2$となり、$xy = 1.5 > 1$となる場合がある。また$x = 0.5$ と $y = 3$ とすると $x+y = 3.5 > 2$ かつ $xy = 1.5 > 1$ であるが、$x<1$であり、$x>1$かつ$y>1$を満たさない。

したがって、$x > 1$ かつ $y > 1$ は、$x + y > 2$ かつ $xy > 1$ であるための十分条件である。

3. 最終的な答え

十分条件