関数 $f(x) = \frac{x-1}{x}$ について、合成関数 $(f \circ f)(x)$ を求めよ。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = \frac{x-1}{x}$ について、合成関数 $(f \circ f)(x)$ を求めよ。

2. 解き方の手順

合成関数 $(f \circ f)(x)$ は、$f(f(x))$ と同じ意味です。つまり、$x$ に $f(x)$ を代入します。

まず、$f(x)$ を求めます。

$f(x) = \frac{x-1}{x}$

次に、$f(x)$ に $f(x)$ を代入して $f(f(x))$ を求めます。

$f(f(x)) = f(\frac{x-1}{x}) = \frac{\frac{x-1}{x}-1}{\frac{x-1}{x}}$

上記の式を簡略化します。

$f(f(x)) = \frac{\frac{x-1}{x}-\frac{x}{x}}{\frac{x-1}{x}} = \frac{\frac{x-1-x}{x}}{\frac{x-1}{x}} = \frac{\frac{-1}{x}}{\frac{x-1}{x}}$

$f(f(x)) = \frac{-1}{x} \cdot \frac{x}{x-1} = \frac{-1}{x-1}$

$f(f(x)) = \frac{-1}{x-1}$

3. 最終的な答え

$\frac{-1}{x-1}$