2次関数 $f(x) = x^2 - 4ax + 8a$ が与えられています。ここで、$a$ は正の定数です。 (1) $a = \frac{1}{2}$ のとき、関数 $y = f(x)$ のグラフの頂点の座標を求めます。 (2) 関数 $f(x)$ の最小値が $-4$ であるとき、$a$ の値を求めます。 (3) $0 \leq x \leq 4$ における関数 $f(x)$ の最大値を $M$、最小値を $m$ とするとき、$M - m = 12$ を満たすような $a$ の値を求めます。

1. 問題の内容

2次関数 $f(x) = x^2 - 4ax + 8a$ が与えられています。ここで、$a$ は正の定数です。

(1) $a = \frac{1}{2}$ のとき、関数 $y = f(x)$ のグラフの頂点の座標を求めます。

(2) 関数 $f(x)$ の最小値が $-4$ であるとき、$a$ の値を求めます。

(3) $0 \leq x \leq 4$ における関数 $f(x)$ の最大値を $M$、最小値を $m$ とするとき、$M - m = 12$ を満たすような $a$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

(1) $a = \frac{1}{2}$ を $f(x)$ に代入し、平方完成することで頂点の座標を求めます。

$f(x) = x^2 - 4ax + 8a = x^2 - 4(\frac{1}{2})x + 8(\frac{1}{2}) = x^2 - 2x + 4$

$f(x) = (x - 1)^2 - 1 + 4 = (x - 1)^2 + 3$

よって、頂点の座標は $(1, 3)$ です。

(2) $f(x)$ を平方完成すると

$f(x) = x^2 - 4ax + 8a = (x - 2a)^2 - (2a)^2 + 8a = (x - 2a)^2 - 4a^2 + 8a$

最小値は $-4a^2 + 8a$ です。

$-4a^2 + 8a = -4$ を解きます。

$-4a^2 + 8a + 4 = 0$

$a^2 - 2a - 1 = 0$

$a = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{8}}{2} = \frac{2 \pm 2\sqrt{2}}{2} = 1 \pm \sqrt{2}$

$a > 0$ より、 $a = 1 + \sqrt{2}$ です。

(3) $f(x) = (x - 2a)^2 - 4a^2 + 8a$

軸は $x = 2a$ です。区間は $0 \leq x \leq 4$ です。

(i) $2a \leq 2$ つまり $a \leq 1$ のとき、

最小値 $m = f(2a) = -4a^2 + 8a$

最大値 $M = f(4) = 16 - 16a + 8a = 16 - 8a$

$M - m = (16 - 8a) - (-4a^2 + 8a) = 16 - 16a + 4a^2 = 12$

$4a^2 - 16a + 4 = 0$

$a^2 - 4a + 1 = 0$

$a = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{12}}{2} = \frac{4 \pm 2\sqrt{3}}{2} = 2 \pm \sqrt{3}$

$a \leq 1$ より、 $a = 2 - \sqrt{3}$ です。

(ii) $2 < 2a < 4$ つまり $1 < a < 2$ のとき、

最小値 $m = f(2a) = -4a^2 + 8a$

最大値 $M = f(0) = 8a$

$M - m = 8a - (-4a^2 + 8a) = 4a^2 = 12$

$a^2 = 3$

$a = \pm \sqrt{3}$

$1 < a < 2$ より、 $a = \sqrt{3}$ です。

(iii) $2a \geq 4$ つまり $a \geq 2$ のとき、

最小値 $m = f(4) = 16 - 16a + 8a = 16 - 8a$

最大値 $M = f(0) = 8a$

$M - m = 8a - (16 - 8a) = 16a - 16 = 12$

$16a = 28$

$a = \frac{28}{16} = \frac{7}{4} = 1.75$

$a \geq 2$ を満たさないので不適です。

したがって、$a = 2 - \sqrt{3}$ または $a = \sqrt{3}$ です。

3. 最終的な答え

(1) $(1, 3)$

(2) $a = 1 + \sqrt{2}$

(3) $a = 2 - \sqrt{3}, \sqrt{3}$