問題は、P駅とQ駅の間の距離が240kmであり、列車AがP駅からQ駅へ、列車BがQ駅からP駅へ同時に出発する状況について、以下の3つの問いに答えるものです。 (1) 列車Aが出発してからx分後のP駅からの道のりyをxの式で表す。 (2) 2つの列車がすれ違うのは出発してから何分後か。 (3) 2つの列車がすれ違うまでに、2つの列車の間の距離が30kmになるのは出発してから何分後か。

1. 問題の内容

問題は、P駅とQ駅の間の距離が240kmであり、列車AがP駅からQ駅へ、列車BがQ駅からP駅へ同時に出発する状況について、以下の3つの問いに答えるものです。

(1) 列車Aが出発してからx分後のP駅からの道のりyをxの式で表す。

(2) 2つの列車がすれ違うのは出発してから何分後か。

(3) 2つの列車がすれ違うまでに、2つの列車の間の距離が30kmになるのは出発してから何分後か。

2. 解き方の手順

(1) グラフから、列車Aは180分で240km進むことがわかります。よって、列車Aの速さは $240/180 = 4/3$ km/分です。したがって、$y = \frac{4}{3}x$。

(2) グラフから、列車Bは120分で240km進むことがわかります。よって、列車Bの速さは $240/120 = 2$ km/分です。列車Aと列車Bが出会うとき、P駅からの距離は同じになります。列車Aが出発してから$x$分後にすれ違うとすると、列車Aが進む距離は $\frac{4}{3}x$ km、列車Bが進む距離は $2(x)$ kmです。

$P駅からすれ違う地点までの距離をLとすると、

$L = \frac{4}{3}x$

$L = 240- 2x$

よって$\frac{4}{3}x = 240 - 2x$

$\frac{4}{3}x+2x = 240$

$\frac{10}{3}x = 240$

$x=240*\frac{3}{10}=72$

よって$x=72$分。

(3) 2つの列車が出発してからx分後に2つの列車の間の距離が30kmとなるとします。

2つの列車は互いに向かって進むので、両列車の間の距離は、出発からの経過時間とともに減少します。2つの列車の間の距離が30kmになるのは、列車がすれ違う前と後の2回あります。

**すれ違う前の場合:**

列車Aの進んだ距離は $\frac{4}{3}x$ km、列車Bの進んだ距離は $2x$ km。

$240 - (\frac{4}{3}x+2x)=30$

$240- \frac{10}{3}x=30$

$\frac{10}{3}x = 210$

$x=63$

**すれ違う後の場合:**

ここでは、xをすれ違ってからの時間とすると、列車Aと列車Bの距離が30キロになるのは

$\frac{4}{3}x+2x =30$

$\frac{10x}{3}=30$

$x=9$

よって$72+9=81$分後

3. 最終的な答え

(1) $y = \frac{4}{3}x$

(2) 72分後

(3) 63分後と81分後