次の連立方程式を掃き出し法で解く問題です。 (1) $\begin{cases} 3x + 2y = 0 \\ x - 2y = 8 \end{cases}$ (2) $\begin{cases} -x + z = 1 \\ -y + 4z = 7 \\ 2x + y + 2z = 3 \end{cases}$ (3) $\begin{pmatrix} 2 & 3 & -1 \\ -1 & 2 & 2 \\ 1 & 1 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix}$

1. 問題の内容

次の連立方程式を掃き出し法で解く問題です。

(1) $\begin{cases} 3x + 2y = 0 \\ x - 2y = 8 \end{cases}$

(2) $\begin{cases} -x + z = 1 \\ -y + 4z = 7 \\ 2x + y + 2z = 3 \end{cases}$

(3) $\begin{pmatrix} 2 & 3 & -1 \\ -1 & 2 & 2 \\ 1 & 1 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix}$

2. 解き方の手順

(1) の連立方程式を解きます。

$\begin{cases} 3x + 2y = 0 \\ x - 2y = 8 \end{cases}$

まず、拡大行列を作成します。

$\begin{pmatrix} 3 & 2 & 0 \\ 1 & -2 & 8 \end{pmatrix}$

次に、行基本変形を行います。

1行目と2行目を入れ替えます。

$\begin{pmatrix} 1 & -2 & 8 \\ 3 & 2 & 0 \end{pmatrix}$

2行目から1行目の3倍を引きます。

$\begin{pmatrix} 1 & -2 & 8 \\ 0 & 8 & -24 \end{pmatrix}$

2行目を8で割ります。

$\begin{pmatrix} 1 & -2 & 8 \\ 0 & 1 & -3 \end{pmatrix}$

1行目に2行目の2倍を加えます。

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & -3 \end{pmatrix}$

したがって、$x = 2$、$y = -3$です。

(2) の連立方程式を解きます。

$\begin{cases} -x + z = 1 \\ -y + 4z = 7 \\ 2x + y + 2z = 3 \end{cases}$

まず、拡大行列を作成します。

$\begin{pmatrix} -1 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & -1 & 4 & 7 \\ 2 & 1 & 2 & 3 \end{pmatrix}$

次に、行基本変形を行います。

1行目に-1をかけます。

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 & -1 \\ 0 & -1 & 4 & 7 \\ 2 & 1 & 2 & 3 \end{pmatrix}$

3行目から1行目の2倍を引きます。

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 & -1 \\ 0 & -1 & 4 & 7 \\ 0 & 1 & 4 & 5 \end{pmatrix}$

2行目に-1をかけます。

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 & -1 \\ 0 & 1 & -4 & -7 \\ 0 & 1 & 4 & 5 \end{pmatrix}$

3行目から2行目を引きます。

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 & -1 \\ 0 & 1 & -4 & -7 \\ 0 & 0 & 8 & 12 \end{pmatrix}$

3行目を8で割ります。

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 & -1 \\ 0 & 1 & -4 & -7 \\ 0 & 0 & 1 & \frac{3}{2} \end{pmatrix}$

1行目に3行目を加えます。

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & \frac{1}{2} \\ 0 & 1 & -4 & -7 \\ 0 & 0 & 1 & \frac{3}{2} \end{pmatrix}$

2行目に3行目の4倍を加えます。

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & \frac{1}{2} \\ 0 & 1 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & \frac{3}{2} \end{pmatrix}$

したがって、$x = \frac{1}{2}$、$y = -1$、$z = \frac{3}{2}$です。

(3) の連立方程式を解きます。

$\begin{pmatrix} 2 & 3 & -1 \\ -1 & 2 & 2 \\ 1 & 1 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix}$

まず、拡大行列を作成します。

$\begin{pmatrix} 2 & 3 & -1 & -3 \\ -1 & 2 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & -1 & -2 \end{pmatrix}$

次に、行基本変形を行います。

1行目と3行目を入れ替えます。

$\begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 & -2 \\ -1 & 2 & 2 & 1 \\ 2 & 3 & -1 & -3 \end{pmatrix}$

2行目に1行目を加えます。

$\begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 & -2 \\ 0 & 3 & 1 & -1 \\ 2 & 3 & -1 & -3 \end{pmatrix}$

3行目から1行目の2倍を引きます。

$\begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 & -2 \\ 0 & 3 & 1 & -1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}$

2行目と3行目を入れ替えます。

$\begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 & -2 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 3 & 1 & -1 \end{pmatrix}$

3行目から2行目の3倍を引きます。

$\begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 & -2 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & -2 & -4 \end{pmatrix}$

3行目を-2で割ります。

$\begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 & -2 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \end{pmatrix}$

1行目から2行目を引きます。

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & -2 & -3 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \end{pmatrix}$

1行目に3行目の2倍を加えます。

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \end{pmatrix}$

2行目から3行目を引きます。

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \end{pmatrix}$

したがって、$x = 1$、$y = -1$、$z = 2$です。

3. 最終的な答え

(1) $x = 2$, $y = -3$

(2) $x = \frac{1}{2}$, $y = -1$, $z = \frac{3}{2}$

(3) $x = 1$, $y = -1$, $z = 2$