与えられた連立方程式 $A \begin{bmatrix} -2 \\ 5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 \\ -4 \end{bmatrix}$ と $A \begin{bmatrix} 1 \\ -3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -4 \\ 3 \end{bmatrix}$ を満たす行列 $A$ を求めよ。

1. 問題の内容

与えられた連立方程式 $A \begin{bmatrix} -2 \\ 5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 \\ -4 \end{bmatrix}$ と $A \begin{bmatrix} 1 \\ -3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -4 \\ 3 \end{bmatrix}$ を満たす行列 $A$ を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、与えられた式から以下の行列の等式が得られます。

$A \begin{bmatrix} -2 & 1 \\ 5 & -3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & -4 \\ -4 & 3 \end{bmatrix}$

ここで、$\begin{bmatrix} -2 & 1 \\ 5 & -3 \end{bmatrix}$ の逆行列を計算します。逆行列を求める公式は以下の通りです。

$\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}^{-1} = \frac{1}{ad - bc} \begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}$

したがって、

$\begin{bmatrix} -2 & 1 \\ 5 & -3 \end{bmatrix}^{-1} = \frac{1}{(-2)(-3) - (1)(5)} \begin{bmatrix} -3 & -1 \\ -5 & -2 \end{bmatrix} = \frac{1}{6-5} \begin{bmatrix} -3 & -1 \\ -5 & -2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -3 & -1 \\ -5 & -2 \end{bmatrix}$

したがって、行列 $A$ は以下のようになります。

$A = \begin{bmatrix} 2 & -4 \\ -4 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -3 & -1 \\ -5 & -2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} (2)(-3) + (-4)(-5) & (2)(-1) + (-4)(-2) \\ (-4)(-3) + (3)(-5) & (-4)(-1) + (3)(-2) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -6 + 20 & -2 + 8 \\ 12 - 15 & 4 - 6 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 14 & 6 \\ -3 & -2 \end{bmatrix}$

3. 最終的な答え

$A = \begin{bmatrix} 14 & 6 \\ -3 & -2 \end{bmatrix}$