与えられた3つの連立方程式を掃き出し法で解く問題です。 (1) $3x + 2y = 0$ $x - 2y = 8$ (2) $-x + z = 1$ $-y + 4z = 7$ $2x + y + 2z = 3$ (3) $2x + 3y - z = -3$ $-x + 2y + 2z = 1$ $x + y - z = -2$

1. 問題の内容

与えられた3つの連立方程式を掃き出し法で解く問題です。

(1)

$3x + 2y = 0$

$x - 2y = 8$

(2)

$-x + z = 1$

$-y + 4z = 7$

$2x + y + 2z = 3$

(3)

$2x + 3y - z = -3$

$-x + 2y + 2z = 1$

$x + y - z = -2$

2. 解き方の手順

(1)

まず、与えられた連立方程式を行列で表現します。

$\begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 1 & -2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 8 \end{pmatrix}$

次に拡大係数行列を作成します。

$\begin{pmatrix} 3 & 2 & 0 \\ 1 & -2 & 8 \end{pmatrix}$

1行目と2行目を入れ替えます。

$\begin{pmatrix} 1 & -2 & 8 \\ 3 & 2 & 0 \end{pmatrix}$

2行目を1行目の-3倍したものと足します。

$\begin{pmatrix} 1 & -2 & 8 \\ 0 & 8 & -24 \end{pmatrix}$

2行目を8で割ります。

$\begin{pmatrix} 1 & -2 & 8 \\ 0 & 1 & -3 \end{pmatrix}$

1行目を2行目の2倍したものと足します。

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & -3 \end{pmatrix}$

したがって、$x = 2$、$y = -3$

(2)

まず、与えられた連立方程式を行列で表現します。

$\begin{pmatrix} -1 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & 4 \\ 2 & 1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 7 \\ 3 \end{pmatrix}$

次に拡大係数行列を作成します。

$\begin{pmatrix} -1 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & -1 & 4 & 7 \\ 2 & 1 & 2 & 3 \end{pmatrix}$

1行目に-1を掛けます。

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 & -1 \\ 0 & -1 & 4 & 7 \\ 2 & 1 & 2 & 3 \end{pmatrix}$

3行目を1行目の-2倍したものと足します。

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 & -1 \\ 0 & -1 & 4 & 7 \\ 0 & 1 & 4 & 5 \end{pmatrix}$

2行目に-1を掛けます。

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 & -1 \\ 0 & 1 & -4 & -7 \\ 0 & 1 & 4 & 5 \end{pmatrix}$

3行目を2行目の-1倍したものと足します。

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 & -1 \\ 0 & 1 & -4 & -7 \\ 0 & 0 & 8 & 12 \end{pmatrix}$

3行目を8で割ります。

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 & -1 \\ 0 & 1 & -4 & -7 \\ 0 & 0 & 1 & 3/2 \end{pmatrix}$

1行目を3行目の1倍したものと足します。

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 1/2 \\ 0 & 1 & -4 & -7 \\ 0 & 0 & 1 & 3/2 \end{pmatrix}$

2行目を3行目の4倍したものと足します。

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 1/2 \\ 0 & 1 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & 3/2 \end{pmatrix}$

したがって、$x = 1/2$、$y = -1$、$z = 3/2$

(3)

まず、与えられた連立方程式を行列で表現します。

$\begin{pmatrix} 2 & 3 & -1 \\ -1 & 2 & 2 \\ 1 & 1 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix}$

次に拡大係数行列を作成します。

$\begin{pmatrix} 2 & 3 & -1 & -3 \\ -1 & 2 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & -1 & -2 \end{pmatrix}$

1行目と3行目を入れ替えます。

$\begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 & -2 \\ -1 & 2 & 2 & 1 \\ 2 & 3 & -1 & -3 \end{pmatrix}$

2行目を1行目の1倍したものと足します。

$\begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 & -2 \\ 0 & 3 & 1 & -1 \\ 2 & 3 & -1 & -3 \end{pmatrix}$

3行目を1行目の-2倍したものと足します。

$\begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 & -2 \\ 0 & 3 & 1 & -1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}$

2行目と3行目を入れ替えます。

$\begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 & -2 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 3 & 1 & -1 \end{pmatrix}$

3行目を2行目の-3倍したものと足します。

$\begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 & -2 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & -2 & -4 \end{pmatrix}$

3行目を-2で割ります。

$\begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 & -2 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \end{pmatrix}$

1行目を3行目の1倍したものと足します。

$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \end{pmatrix}$

2行目を3行目の-1倍したものと足します。

$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \end{pmatrix}$

1行目を2行目の-1倍したものと足します。

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \end{pmatrix}$

したがって、$x = 1$、$y = -1$、$z = 2$

3. 最終的な答え

(1)

$x = 2$

$y = -3$

(2)

$x = \frac{1}{2}$

$y = -1$

$z = \frac{3}{2}$

(3)

$x = 1$

$y = -1$

$z = 2$