以下の3つの二次関数について、与えられた定義域における最大値と最小値を求めます。 (1) $y = x^2 - 4x + 3$ ($-1 \le x \le 5$) (2) $y = -3x^2 - 6x + 5$ ($-4 \le x \le -1$) (3) $y = -x^2 + 3x - \frac{1}{4}$ ($1 \le x \le 3$)

1. 問題の内容

以下の3つの二次関数について、与えられた定義域における最大値と最小値を求めます。

(1) $y = x^2 - 4x + 3$ ($-1 \le x \le 5$)

(2) $y = -3x^2 - 6x + 5$ ($-4 \le x \le -1$)

(3) $y = -x^2 + 3x - \frac{1}{4}$ ($1 \le x \le 3$)

2. 解き方の手順

各関数について、平方完成を行い、頂点の座標を求めます。次に、定義域の両端の値と頂点のx座標が定義域に含まれるかどうかを確認し、それぞれのyの値を計算します。これらのyの値の中で、最大値と最小値を決定します。

(1) $y = x^2 - 4x + 3$

平方完成すると、$y = (x - 2)^2 - 1$

頂点は$(2, -1)$。

定義域は$-1 \le x \le 5$。

$x = -1$のとき、$y = (-1)^2 - 4(-1) + 3 = 1 + 4 + 3 = 8$

$x = 5$のとき、$y = (5)^2 - 4(5) + 3 = 25 - 20 + 3 = 8$

頂点のy座標は-1。

最大値は8 ($x = -1, 5$)、最小値は-1 ($x = 2$)。

(2) $y = -3x^2 - 6x + 5$

平方完成すると、$y = -3(x + 1)^2 + 8$

頂点は$(-1, 8)$。

定義域は$-4 \le x \le -1$。

$x = -4$のとき、$y = -3(-4)^2 - 6(-4) + 5 = -3(16) + 24 + 5 = -48 + 24 + 5 = -19$

$x = -1$のとき、$y = -3(-1)^2 - 6(-1) + 5 = -3 + 6 + 5 = 8$

頂点のy座標は8。

最大値は8 ($x = -1$)、最小値は-19 ($x = -4$)。

(3) $y = -x^2 + 3x - \frac{1}{4}$

平方完成すると、$y = -(x - \frac{3}{2})^2 + 2$

頂点は$(\frac{3}{2}, 2)$。

定義域は$1 \le x \le 3$。

$x = 1$のとき、$y = -(1)^2 + 3(1) - \frac{1}{4} = -1 + 3 - \frac{1}{4} = 2 - \frac{1}{4} = \frac{7}{4}$

$x = 3$のとき、$y = -(3)^2 + 3(3) - \frac{1}{4} = -9 + 9 - \frac{1}{4} = -\frac{1}{4}$

頂点のy座標は2。

最大値は2 ($x = \frac{3}{2}$)、最小値は$-\frac{1}{4}$ ($x = 3$)。

3. 最終的な答え

(1) 最大値: 8, 最小値: -1

(2) 最大値: 8, 最小値: -19

(3) 最大値: 2, 最小値: -1/4