点 A(1, 2), B(2, 3) を取る。線分 AB と y 軸に関して対称な線分 A'B' を考える。関数 $y = ax$ (a は定数) のグラフが線分 A'B' と交点をもつとき、a の最大値を求めよ。

## 問題8

1. 問題の内容

点 A(1, 2), B(2, 3) を取る。線分 AB と y 軸に関して対称な線分 A'B' を考える。関数 $y = ax$ (a は定数) のグラフが線分 A'B' と交点をもつとき、a の最大値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、点 A, B と y 軸に関して対称な点 A', B' を求める。

A(1, 2) と y 軸に関して対称な点は A'(-1, 2) である。

B(2, 3) と y 軸に関して対称な点は B'(-2, 3) である。

次に、線分 A'B' の方程式を求める。

線分 A'B' は 2 点 A'(-1, 2), B'(-2, 3) を通る直線の一部である。

直線の傾き m は、

$m = \frac{3 - 2}{-2 - (-1)} = \frac{1}{-1} = -1$

直線の方程式は、点 A'(-1, 2) を通ることから、

$y - 2 = -1(x - (-1))$

$y - 2 = -x - 1$

$y = -x + 1$

ただし、x の範囲は -2 ≤ x ≤ -1 である。

関数 $y = ax$ が線分 A'B' と交点を持つということは、連立方程式

$y = ax$

$y = -x + 1$

が -2 ≤ x ≤ -1 の範囲で解を持つということである。

連立方程式を解くと、

$ax = -x + 1$

$(a + 1)x = 1$

$x = \frac{1}{a + 1}$

この x が -2 ≤ x ≤ -1 の範囲にある必要があるので、

$-2 \le \frac{1}{a + 1} \le -1$

まず、$\frac{1}{a + 1} \le -1$ より、$\frac{1}{a+1} + 1 \le 0$

$\frac{1 + a + 1}{a + 1} \le 0$

$\frac{a + 2}{a + 1} \le 0$

-2 ≤ a < -1

次に、$-2 \le \frac{1}{a + 1}$ より、$\frac{1}{a+1} + 2 \ge 0$

$\frac{1 + 2a + 2}{a + 1} \ge 0$

$\frac{2a + 3}{a + 1} \ge 0$

$a \le -\frac{3}{2}$ または a > -1

よって、 $-2 \le a < -1$ と $a \le -\frac{3}{2}$ または a > -1 の共通範囲は、

$-2 \le a \le -\frac{3}{2}$

したがって、a の最大値は $-\frac{3}{2}$.

3. 最終的な答え

a の最大値は $-\frac{3}{2}$