放物線の方程式を求める問題です。それぞれ、 (1) 頂点と通る点が与えられた場合 (2) 軸の方程式と通る2点が与えられた場合 (3) 通る2点とx軸に接することが与えられた場合 (4) 通る3点が与えられた場合 について、放物線の方程式を求めます。

はい、承知いたしました。画像に書かれた4つの問題について、それぞれ解説と解答を示します。

1. 問題の内容

放物線の方程式を求める問題です。それぞれ、

(1) 頂点と通る点が与えられた場合

(2) 軸の方程式と通る2点が与えられた場合

(3) 通る2点とx軸に接することが与えられた場合

(4) 通る3点が与えられた場合

について、放物線の方程式を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 頂点と通る点が与えられた場合

頂点が $(2, 3)$ なので、放物線の方程式は $y = a(x-2)^2 + 3$ と表せます。

この放物線が点 $(0, 1)$ を通るので、$x = 0$, $y = 1$ を代入すると、

$1 = a(0-2)^2 + 3$

$1 = 4a + 3$

$4a = -2$

$a = -\frac{1}{2}$

したがって、放物線の方程式は $y = -\frac{1}{2}(x-2)^2 + 3$ です。

(2) 軸の方程式と通る2点が与えられた場合

軸の方程式が $x = -2$ なので、放物線の方程式は $y = a(x+2)^2 + q$ と表せます。

この放物線が点 $(1, 8)$ と $(-1, -8)$ を通るので、$x = 1$, $y = 8$ と $x = -1$, $y = -8$ をそれぞれ代入すると、

$8 = a(1+2)^2 + q$

$8 = 9a + q$

$-8 = a(-1+2)^2 + q$

$-8 = a + q$

この連立方程式を解きます。

$8 = 9a + q$

$-8 = a + q$

上の式から下の式を引くと、

$16 = 8a$

$a = 2$

$q = -8 - a = -8 - 2 = -10$

したがって、放物線の方程式は $y = 2(x+2)^2 - 10$ です。

(3) 通る2点とx軸に接することが与えられた場合

放物線がx軸に接するので、$y = a(x - p)^2$と表せる。

点 $(1, 1)$ と $(4, 4)$ を通るので、$x = 1$, $y = 1$ と $x = 4$, $y = 4$ をそれぞれ代入すると、

$1 = a(1 - p)^2$

$4 = a(4 - p)^2$

$a(1 - p)^2 = 1$

$a(4 - p)^2 = 4$

両辺を割ると、

$\frac{(4 - p)^2}{(1 - p)^2} = 4$

$(4 - p)^2 = 4(1 - p)^2$

$16 - 8p + p^2 = 4(1 - 2p + p^2)$

$16 - 8p + p^2 = 4 - 8p + 4p^2$

$0 = 3p^2 - 12$

$p^2 = 4$

$p = \pm 2$

$p = 2$ のとき、$1 = a(1 - 2)^2 = a$ より $a = 1$

$p = -2$ のとき、$1 = a(1 + 2)^2 = 9a$ より $a = \frac{1}{9}$

したがって、放物線の方程式は $y = (x - 2)^2$ または $y = \frac{1}{9}(x + 2)^2$ です。

(4) 通る3点が与えられた場合

放物線の方程式を $y = ax^2 + bx + c$ とします。

点 $A(1, -3)$, $B(-1, 3)$, $C(\frac{1}{2}, -\frac{9}{8})$ を通るので、それぞれ代入すると、

$-3 = a + b + c$

$3 = a - b + c$

$-\frac{9}{8} = \frac{1}{4}a + \frac{1}{2}b + c$

1番目の式と2番目の式を足すと、

$0 = 2a + 2c$

$c = -a$

1番目の式から2番目の式を引くと、

$-6 = 2b$

$b = -3$

3番目の式に $b = -3$ と $c = -a$ を代入すると、

$-\frac{9}{8} = \frac{1}{4}a - \frac{3}{2} - a$

$-\frac{9}{8} + \frac{12}{8} = -\frac{3}{4}a$

$\frac{3}{8} = -\frac{3}{4}a$

$a = -\frac{1}{2}$

$c = \frac{1}{2}$

したがって、放物線の方程式は $y = -\frac{1}{2}x^2 - 3x + \frac{1}{2}$ です。

3. 最終的な答え

(1) $y = -\frac{1}{2}(x-2)^2 + 3$

(2) $y = 2(x+2)^2 - 10$

(3) $y = (x - 2)^2$ または $y = \frac{1}{9}(x + 2)^2$

(4) $y = -\frac{1}{2}x^2 - 3x + \frac{1}{2}$