放物線 $C_1: y = ax^2 + bx + 4$ がある。$C_1$ を直線 $y=1$ に関して対称移動した放物線を $C_2$、$C_2$ を直線 $x=1$ に関して対称移動した放物線を $C_3$ とする。$C_2$ が点 $(-2, -10)$ を通り、$C_3$ が点 $(3, -2)$ を通るとき、$a+b$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

放物線 $C_1: y = ax^2 + bx + 4$ がある。$C_1$ を直線 $y=1$ に関して対称移動した放物線を $C_2$、$C_2$ を直線 $x=1$ に関して対称移動した放物線を $C_3$ とする。$C_2$ が点 $(-2, -10)$ を通り、$C_3$ が点 $(3, -2)$ を通るとき、$a+b$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$C_1$ を直線 $y=1$ に関して対称移動した放物線 $C_2$ の方程式を求める。点 $(x, y)$ が $C_1$ 上にあるとき、直線 $y=1$ に関して対称な点の座標は $(x, 2 - y)$ である。よって、$C_2$ の方程式は

$2 - y = ax^2 + bx + 4$

$y = -ax^2 - bx - 2$

となる。

次に、$C_2$ を直線 $x=1$ に関して対称移動した放物線 $C_3$ の方程式を求める。点 $(x, y)$ が $C_2$ 上にあるとき、直線 $x=1$ に関して対称な点の座標は $(2 - x, y)$ である。よって、$C_3$ の方程式は

$y = -a(2 - x)^2 - b(2 - x) - 2$

$y = -a(4 - 4x + x^2) - b(2 - x) - 2$

$y = -ax^2 + (4a + b)x - 4a - 2b - 2$

となる。

$C_2$ が点 $(-2, -10)$ を通るので、

$-10 = -a(-2)^2 - b(-2) - 2$

$-10 = -4a + 2b - 2$

$-8 = -4a + 2b$

$-4 = -2a + b$

$C_3$ が点 $(3, -2)$ を通るので、

$-2 = -a(3)^2 + (4a + b)(3) - 4a - 2b - 2$

$-2 = -9a + 12a + 3b - 4a - 2b - 2$

$0 = -a + b$

$a = b$

$-4 = -2a + b$ に $a=b$ を代入すると、

$-4 = -2a + a$

$-4 = -a$

$a = 4$

$a = b$ なので、$b = 4$ である。

したがって、$a + b = 4 + 4 = 8$ である。

3. 最終的な答え

$a+b = 8$