与えられた条件を満たす2次関数を求める問題です。 (1) 軸が $x=1$ で、点 $(0, 7)$ と $(3, 11)$ を通る2次関数を求めます。 (2) $y = -2x^2$ を平行移動したもので、x軸と $(-3, 0)$ と $(1, 0)$ で交わる2次関数を求めます。

1. 問題の内容

与えられた条件を満たす2次関数を求める問題です。

(1) 軸が $x=1$ で、点 $(0, 7)$ と $(3, 11)$ を通る2次関数を求めます。

(2) $y = -2x^2$ を平行移動したもので、x軸と $(-3, 0)$ と $(1, 0)$ で交わる2次関数を求めます。

2. 解き方の手順

(1)

2次関数の式を $y = a(x-p)^2 + q$ とおきます。軸が $x=1$ であることから、$p = 1$ となります。したがって、$y = a(x-1)^2 + q$ となります。

この式に点 $(0, 7)$ と $(3, 11)$ を代入します。

$7 = a(0-1)^2 + q = a + q$

$11 = a(3-1)^2 + q = 4a + q$

この2つの式から $a$ と $q$ を求めます。2番目の式から1番目の式を引くと、

$11 - 7 = 4a + q - (a + q) = 3a$

$4 = 3a$

$a = \frac{4}{3}$

$q = 7 - a = 7 - \frac{4}{3} = \frac{21}{3} - \frac{4}{3} = \frac{17}{3}$

したがって、求める2次関数は $y = \frac{4}{3}(x-1)^2 + \frac{17}{3}$ となります。

展開すると、$y = \frac{4}{3}(x^2 - 2x + 1) + \frac{17}{3} = \frac{4}{3}x^2 - \frac{8}{3}x + \frac{4}{3} + \frac{17}{3} = \frac{4}{3}x^2 - \frac{8}{3}x + \frac{21}{3} = \frac{4}{3}x^2 - \frac{8}{3}x + 7$となります。

(2)

$y = -2x^2$ を平行移動したもので、x軸と $(-3, 0)$ と $(1, 0)$ で交わる2次関数を求めます。

x軸と $(-3, 0)$ と $(1, 0)$ で交わることから、$y = a(x+3)(x-1)$ と表せます。

このグラフは $y = -2x^2$ を平行移動したものであるため、$x^2$ の係数は $-2$ と同じになります。したがって、$a = -2$ です。

求める2次関数は $y = -2(x+3)(x-1) = -2(x^2 + 2x - 3) = -2x^2 - 4x + 6$ となります。

3. 最終的な答え

(1) $y = \frac{4}{3}x^2 - \frac{8}{3}x + 7$

(2) $y = -2x^2 - 4x + 6$