放物線 $y = 2x^2 - 1$ を平行移動したもので、点$(2, 1)$を通り、頂点が直線 $y = -x + 3$ 上にある2次関数を求める。

1. 問題の内容

放物線 $y = 2x^2 - 1$ を平行移動したもので、点$(2, 1)$を通り、頂点が直線 $y = -x + 3$ 上にある2次関数を求める。

2. 解き方の手順

与えられた放物線 $y = 2x^2 - 1$ を平行移動したものは、$y = 2(x - p)^2 + q$ と表せる。なぜなら、$x^2$の係数は平行移動によって変化しないからである。

頂点が直線 $y = -x + 3$ 上にあるので、頂点の座標を $(p, q)$ とすると、$q = -p + 3$ の関係が成り立つ。よって、

$y = 2(x - p)^2 - p + 3$ と表せる。

この放物線が点 $(2, 1)$ を通るので、

$1 = 2(2 - p)^2 - p + 3$ が成り立つ。

この式を展開して整理すると、

$1 = 2(4 - 4p + p^2) - p + 3$

$1 = 8 - 8p + 2p^2 - p + 3$

$0 = 2p^2 - 9p + 10$

これを解くと、

$(2p - 5)(p - 2) = 0$

よって、$p = \frac{5}{2}, 2$ である。

(i) $p = \frac{5}{2}$ のとき

$q = -\frac{5}{2} + 3 = \frac{1}{2}$

したがって、$y = 2(x - \frac{5}{2})^2 + \frac{1}{2} = 2(x^2 - 5x + \frac{25}{4}) + \frac{1}{2} = 2x^2 - 10x + \frac{25}{2} + \frac{1}{2} = 2x^2 - 10x + 13$

(ii) $p = 2$ のとき

$q = -2 + 3 = 1$

したがって、$y = 2(x - 2)^2 + 1 = 2(x^2 - 4x + 4) + 1 = 2x^2 - 8x + 8 + 1 = 2x^2 - 8x + 9$

3. 最終的な答え

$y = 2x^2 - 10x + 13$

または

$y = 2x^2 - 8x + 9$