放物線 $y = x^2$ と直線 $y = -2x + 4$ が2点A, Bで交わっています。線分AB上に点Pをとり、Pを通りy軸に平行な直線が放物線と交わる点をQとします。線分PQの長さが1のとき、点Pの座標をすべて求めなさい。

1. 問題の内容

放物線 $y = x^2$ と直線 $y = -2x + 4$ が2点A, Bで交わっています。線分AB上に点Pをとり、Pを通りy軸に平行な直線が放物線と交わる点をQとします。線分PQの長さが1のとき、点Pの座標をすべて求めなさい。

2. 解き方の手順

まず、点Pのx座標を $t$ とします。

点Pは直線 $y = -2x + 4$ 上にあるので、点Pのy座標は $-2t + 4$ となります。したがって、点Pの座標は $(t, -2t + 4)$ と表せます。

点Qは放物線 $y = x^2$ 上にあり、点Pを通りy軸に平行な直線上にあります。したがって、点Qのx座標は $t$ であり、y座標は $t^2$ となります。つまり、点Qの座標は $(t, t^2)$ と表せます。

線分PQの長さは、$|(-2t + 4) - t^2|$ で表されます。問題文より、PQの長さは1なので、

$|(-2t + 4) - t^2| = 1$

これを解きます。

まず、場合分けをします。

1. $-2t + 4 - t^2 \geq 0$ のとき、 $-t^2 - 2t + 4 = 1$ となり、$t^2 + 2t - 3 = 0$。

$(t + 3)(t - 1) = 0$ より、$t = -3, 1$

2. $-2t + 4 - t^2 < 0$ のとき、 $-(-t^2 - 2t + 4) = 1$ となり、$t^2 + 2t - 4 = -1$。

$t^2 + 2t - 3 = 0$ より、$t = -3, 1$

$t^2 + 2t - 3 = 0$ となり、 $(t + 3)(t - 1) = 0$ より、$t = -3, 1$

$t^2 + 2t - 3 = 0$より、$(t+3)(t-1) = 0$、したがって$t=-3, 1$。

$t^2 + 2t - 5 = 0$。 解の公式から $t = \frac{-2 \pm \sqrt{4 - 4(1)(-5)}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{24}}{2} = -1 \pm \sqrt{6}$

場合分けの条件をそれぞれ確認します。

- $t = -3$ のとき、 $-2(-3) + 4 - (-3)^2 = 6 + 4 - 9 = 1 > 0$ なので、条件を満たします。

- $t = 1$ のとき、 $-2(1) + 4 - (1)^2 = -2 + 4 - 1 = 1 > 0$ なので、条件を満たします。

- $t = -1 + \sqrt{6}$ のとき、 $-2(-1 + \sqrt{6}) + 4 - (-1 + \sqrt{6})^2 = 2 - 2\sqrt{6} + 4 - (1 - 2\sqrt{6} + 6) = 6 - 2\sqrt{6} - 7 + 2\sqrt{6} = -1 < 0$ なので、条件を満たします。

- $t = -1 - \sqrt{6}$ のとき、 $-2(-1 - \sqrt{6}) + 4 - (-1 - \sqrt{6})^2 = 2 + 2\sqrt{6} + 4 - (1 + 2\sqrt{6} + 6) = 6 + 2\sqrt{6} - 7 - 2\sqrt{6} = -1 < 0$ なので、条件を満たします。

次に、各 $t$ に対する点Pの座標を求めます。

- $t = -3$ のとき、Pの座標は $(-3, -2(-3) + 4) = (-3, 10)$

- $t = 1$ のとき、Pの座標は $(1, -2(1) + 4) = (1, 2)$

- $t = -1 + \sqrt{6}$ のとき、Pの座標は $(-1 + \sqrt{6}, -2(-1 + \sqrt{6}) + 4) = (-1 + \sqrt{6}, 6 - 2\sqrt{6})$

- $t = -1 - \sqrt{6}$ のとき、Pの座標は $(-1 - \sqrt{6}, -2(-1 - \sqrt{6}) + 4) = (-1 - \sqrt{6}, 6 + 2\sqrt{6})$

3. 最終的な答え

$(-3, 10)$, $(1, 2)$, $(-1 + \sqrt{6}, 6 - 2\sqrt{6})$, $(-1 - \sqrt{6}, 6 + 2\sqrt{6})$