5つの数学の問題があります。 1. $y = \frac{24}{x}$ のグラフ上で、$x$座標と$y$座標がともに正の整数である点の個数を求める問題。

代数学反比例比例関数のグラフ変域約数
2025/7/27
はい、承知いたしました。以下の形式で解答します。

1. 問題の内容

5つの数学の問題があります。

1. $y = \frac{24}{x}$ のグラフ上で、$x$座標と$y$座標がともに正の整数である点の個数を求める問題。

2. 関数 $y = \frac{8}{x}$ で、$x$ の変域が $4 \le x \le 12$ のときの、$y$ の変域を求める問題。

3. 関数 $y = \frac{12}{x}$ について正しく述べているものを、選択肢ア~エの中から2つ選ぶ問題。

4. $y$ が $x$ に比例するものを、選択肢ア~エの中から1つ選ぶ問題。

5. $y - 3$ が $x + 2$ に比例し、$x = 3$ のとき $y = 8$ である。$x = 7$ のとき、$y$ の値を求める問題。

2. 解き方の手順

**問題1:**
y=24xy = \frac{24}{x} について、xxyy がともに正の整数になる組み合わせを探します。xx は 24 の正の約数である必要があります。24 の正の約数は 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 です。それぞれの xx に対して yy の値は、
x=1x=1 のとき、y=24y=24
x=2x=2 のとき、y=12y=12
x=3x=3 のとき、y=8y=8
x=4x=4 のとき、y=6y=6
x=6x=6 のとき、y=4y=4
x=8x=8 のとき、y=3y=3
x=12x=12 のとき、y=2y=2
x=24x=24 のとき、y=1y=1
これらは全て正の整数なので、点の個数は8個です。
**問題2:**
y=8xy = \frac{8}{x} について、xx の変域が 4x124 \le x \le 12 のときの yy の変域を求めます。yyxx に反比例するので、xx が大きいほど yy は小さくなります。
x=4x = 4 のとき、y=84=2y = \frac{8}{4} = 2
x=12x = 12 のとき、y=812=23y = \frac{8}{12} = \frac{2}{3}
したがって、yy の変域は 23y2\frac{2}{3} \le y \le 2 となります。
**問題3:**
y=12xy = \frac{12}{x} について考えます。
ア: xx の変域が 2x32 \le x \le 3 のとき、x=2x=2 なら y=6y=6x=3x=3 なら y=4y=4 なので、4y64 \le y \le 6。これは正しい。
イ: グラフは yy 軸について対称ではなく、原点について対称(反比例のグラフ)。これは誤り。
ウ: グラフは点 (3,4)(-3, 4) を通るか確認します。x=3x = -3 のとき、y=123=4y = \frac{12}{-3} = -4 となるので、点 (3,4)(-3, 4) は通りません。これは誤り。
エ: 面積12 cm2^2 の長方形の縦の長さを xx cm、横の長さを yy cm とすると、xy=12xy = 12 つまり y=12xy = \frac{12}{x} となるので、正しい。
よって、正しいのはアとエです。
**問題4:**
ア: 立方体の1辺の長さが xx cm のとき、その表面積は y=6x2y = 6x^2 cm2^2。これは比例ではない。
イ: 1か月の平均気温が xx ℃ のとき、その月の降水量は yy mm。これは比例ではない。
ウ: 1本120円のジュースを xx 本買ったとき、合計金額は y=120xy = 120x 円。これは比例する。
エ: 面積が20 cm2^2 の長方形において、横の長さを xx cm としたとき、縦の長さは y=20xy = \frac{20}{x} cm。これは反比例。
よって、比例するのはウです。
**問題5:**
y3y - 3x+2x + 2 に比例するので、y3=k(x+2)y - 3 = k(x + 2) と表せます。x=3x = 3 のとき y=8y = 8 なので、代入すると 83=k(3+2)8 - 3 = k(3 + 2) より 5=5k5 = 5k なので、k=1k = 1
したがって、y3=x+2y - 3 = x + 2 となり、y=x+5y = x + 5 です。
x=7x = 7 のとき、y=7+5=12y = 7 + 5 = 12

3. 最終的な答え

1. 8個

2. $\frac{2}{3} \le y \le 2$

3. ア、エ

4. ウ

5. $y = 12$