問題文は、ベクトル $\mathbf{p} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}$, $\mathbf{q} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}$, $\mathbf{r} = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}$ を列ベクトルとして持つ行列 $A = (\mathbf{p}, \mathbf{q}, \mathbf{r})$ が直交行列であるかどうかを判定する問題です。さらに、行列 $B = \left( \frac{\mathbf{p}}{\sqrt{6}}, \frac{\mathbf{q}}{\sqrt{2}}, \frac{\mathbf{r}}{\sqrt{3}} \right)$ が直交行列であるかどうかを判定する問題です。

1. 問題の内容

問題文は、ベクトル $\mathbf{p} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}$, $\mathbf{q} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}$, $\mathbf{r} = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}$ を列ベクトルとして持つ行列 $A = (\mathbf{p}, \mathbf{q}, \mathbf{r})$ が直交行列であるかどうかを判定する問題です。さらに、行列 $B = \left( \frac{\mathbf{p}}{\sqrt{6}}, \frac{\mathbf{q}}{\sqrt{2}}, \frac{\mathbf{r}}{\sqrt{3}} \right)$ が直交行列であるかどうかを判定する問題です。

2. 解き方の手順

(1) 行列 $A$ が直交行列であるかの判定

行列 $A$ が直交行列であるためには、$A^T A = I$ （$I$ は単位行列）となる必要があります。問題文には $A^T A$ の計算結果が与えられており、

$A^T A = \begin{pmatrix} 6 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}$

となっています。

$A^T A$ は単位行列ではないので、$A$ は直交行列ではありません。

問題文の (1), (2), (3) に入るべき値はそれぞれ6, 2, 3です。

(2) 行列 $B$ が直交行列であるかの判定

$B = \left( \frac{\mathbf{p}}{\sqrt{6}}, \frac{\mathbf{q}}{\sqrt{2}}, \frac{\mathbf{r}}{\sqrt{3}} \right)$

の列ベクトルをそれぞれ $\mathbf{b}_1 = \frac{\mathbf{p}}{\sqrt{6}}$, $\mathbf{b}_2 = \frac{\mathbf{q}}{\sqrt{2}}$, $\mathbf{b}_3 = \frac{\mathbf{r}}{\sqrt{3}}$ とします。

行列 $B$ が直交行列であるためには、各列ベクトルが互いに直交し、かつノルムが1である必要があります。つまり、

$\mathbf{b}_i \cdot \mathbf{b}_j = \delta_{ij}$

ここで $\delta_{ij}$ はクロネッカーのデルタで、$i=j$ のとき 1, $i \neq j$ のとき 0 となる関数です。

$\mathbf{b}_1 \cdot \mathbf{b}_1 = \frac{\mathbf{p} \cdot \mathbf{p}}{6} = \frac{1^2 + 2^2 + 1^2}{6} = \frac{6}{6} = 1$

$\mathbf{b}_2 \cdot \mathbf{b}_2 = \frac{\mathbf{q} \cdot \mathbf{q}}{2} = \frac{1^2 + 0^2 + (-1)^2}{2} = \frac{2}{2} = 1$

$\mathbf{b}_3 \cdot \mathbf{b}_3 = \frac{\mathbf{r} \cdot \mathbf{r}}{3} = \frac{1^2 + (-1)^2 + 1^2}{3} = \frac{3}{3} = 1$

$\mathbf{b}_1 \cdot \mathbf{b}_2 = \frac{\mathbf{p} \cdot \mathbf{q}}{\sqrt{6} \sqrt{2}} = \frac{1 \cdot 1 + 2 \cdot 0 + 1 \cdot (-1)}{\sqrt{12}} = \frac{0}{\sqrt{12}} = 0$

$\mathbf{b}_1 \cdot \mathbf{b}_3 = \frac{\mathbf{p} \cdot \mathbf{r}}{\sqrt{6} \sqrt{3}} = \frac{1 \cdot 1 + 2 \cdot (-1) + 1 \cdot 1}{\sqrt{18}} = \frac{0}{\sqrt{18}} = 0$

$\mathbf{b}_2 \cdot \mathbf{b}_3 = \frac{\mathbf{q} \cdot \mathbf{r}}{\sqrt{2} \sqrt{3}} = \frac{1 \cdot 1 + 0 \cdot (-1) + (-1) \cdot 1}{\sqrt{6}} = \frac{0}{\sqrt{6}} = 0$

したがって、$B$ は直交行列です。

3. 最終的な答え

Q4: $A$ は直交行列で(ない)。

Q5: $B$ は直交行列で(ある)。