問題8：放物線 $y = x^2 + bx + c$ を $x$ 軸方向に $-2$, $y$ 軸方向に $5$ 平行移動した放物線の頂点が $(0, 2)$ であるとき、定数 $b, c$ の値を求める。 問題9：$k$ が定数のとき、2次方程式 $x^2 - 4x + k + 5 = 0$ の実数解の個数を調べる。

1. 問題の内容

問題8：放物線 $y = x^2 + bx + c$ を $x$ 軸方向に $-2$, $y$ 軸方向に $5$ 平行移動した放物線の頂点が $(0, 2)$ であるとき、定数 $b, c$ の値を求める。

問題9：$k$ が定数のとき、2次方程式 $x^2 - 4x + k + 5 = 0$ の実数解の個数を調べる。

2. 解き方の手順

問題8

放物線 $y = x^2 + bx + c$ を $x$ 軸方向に $-2$, $y$ 軸方向に $5$ 平行移動した放物線の方程式は、

$y - 5 = (x + 2)^2 + b(x + 2) + c$

$y = (x + 2)^2 + b(x + 2) + c + 5$

$y = x^2 + 4x + 4 + bx + 2b + c + 5$

$y = x^2 + (4 + b)x + (9 + 2b + c)$

この放物線の頂点の $x$ 座標は、$- \frac{4 + b}{2}$ である。

頂点の $x$ 座標が $0$ であるから、

$- \frac{4 + b}{2} = 0$

$4 + b = 0$

$b = -4$

よって、$y = x^2 + (9 + 2(-4) + c) = x^2 + (1 + c)$

頂点の $y$ 座標は $1 + c$ であり、これが $2$ に等しいので、

$1 + c = 2$

$c = 1$

問題9

2次方程式 $x^2 - 4x + k + 5 = 0$ の実数解の個数は、判別式 $D$ によって決まる。

$D = (-4)^2 - 4(1)(k + 5) = 16 - 4k - 20 = -4k - 4$

$D > 0$ のとき、実数解は2個

$D = 0$ のとき、実数解は1個

$D < 0$ のとき、実数解は0個

$D > 0$ のとき、$-4k - 4 > 0$ より、 $-4k > 4$, $k < -1$

$D = 0$ のとき、$-4k - 4 = 0$ より、 $-4k = 4$, $k = -1$

$D < 0$ のとき、$-4k - 4 < 0$ より、 $-4k < 4$, $k > -1$

3. 最終的な答え

問題8：$b = -4$, $c = 1$

問題9：

$k < -1$ のとき、実数解は2個

$k = -1$ のとき、実数解は1個

$k > -1$ のとき、実数解は0個