2桁の正の整数 $n$ があり、その十の位と一の位を入れ替えた整数との和がある自然数の2乗になる。そのような $n$ のうち、最も小さいものを求めよ。

1. 問題の内容

2桁の正の整数 $n$ があり、その十の位と一の位を入れ替えた整数との和がある自然数の2乗になる。そのような $n$ のうち、最も小さいものを求めよ。

2. 解き方の手順

$n$ の十の位を $a$、一の位を $b$ とすると、$n = 10a + b$ と表せる。

十の位と一の位を入れ替えた整数は $10b + a$ となる。

これらの和は、

$$(10a + b) + (10b + a) = 11a + 11b = 11(a+b)$$

この和がある自然数の2乗になるので、$11(a+b) = k^2$ （$k$ は自然数）と表せる。

左辺が11の倍数であるから、右辺も11の倍数でなければならない。

したがって、$k$ も11の倍数である。

$k = 11m$ （$m$ は自然数）とおくと、

$$11(a+b) = (11m)^2 = 121m^2$$

$$a+b = 11m^2$$

$a$ と $b$ は1から9までの整数なので、$a+b$ の最小値は2、最大値は18である。

$2 \le a+b \le 18$ であるから、$2 \le 11m^2 \le 18$ を満たす $m$ を考える。

$m=1$ のとき、$11m^2 = 11$ となり、これは $2 \le a+b \le 18$ を満たす。

$m \ge 2$ のとき、$11m^2 \ge 11(2^2) = 44$ となり、$a+b \le 18$ を満たさない。

よって、$m=1$ であり、$a+b = 11$ となる。

$n = 10a + b$ が最小になるように、$a$ を最小にする。

$a+b = 11$ なので、$a=2$ のとき $b=9$, $n=29$

$a=3$ のとき $b=8$, $n=38$

$a=4$ のとき $b=7$, $n=47$

$a=5$ のとき $b=6$, $n=56$

$a=6$ のとき $b=5$, $n=65$

$a=7$ のとき $b=4$, $n=74$

$a=8$ のとき $b=3$, $n=83$

$a=9$ のとき $b=2$, $n=92$

$n$ が最小となるのは $n=29$ である。

3. 最終的な答え

29