2次関数 $y = x^2 + (2a+2)x + 2a^2+6a-4$ について、以下の問題を解く。 (1) グラフとy軸との共有点Pのy座標をpとする。pが最小値をとるときのaの値と、その最小値を求める。 (2) グラフの頂点Qの座標を求める。グラフがx軸と異なる2点A,Bで交わるときのaの範囲を求める。ABの長さをaで表し、ABが最大値をとるときのaの値と、その最大値を求める。 (3) △ABQが正三角形となるとき、aの値を求める。

1. 問題の内容

2次関数 $y = x^2 + (2a+2)x + 2a^2+6a-4$ について、以下の問題を解く。

(1) グラフとy軸との共有点Pのy座標をpとする。pが最小値をとるときのaの値と、その最小値を求める。

(2) グラフの頂点Qの座標を求める。グラフがx軸と異なる2点A,Bで交わるときのaの範囲を求める。ABの長さをaで表し、ABが最大値をとるときのaの値と、その最大値を求める。

(3) △ABQが正三角形となるとき、aの値を求める。

2. 解き方の手順

(1) y軸との共有点Pのy座標pは、$x=0$ のときのyの値であるから、$p = 2a^2 + 6a - 4$。

これを平方完成すると、

$p = 2(a^2 + 3a) - 4 = 2(a^2 + 3a + \frac{9}{4}) - 4 - \frac{9}{2} = 2(a + \frac{3}{2})^2 - \frac{17}{2}$

したがって、$a = -\frac{3}{2}$ のとき、最小値 $-\frac{17}{2}$ をとる。

(2) $y = x^2 + (2a+2)x + 2a^2+6a-4$ を平方完成する。

$y = (x + a + 1)^2 - (a+1)^2 + 2a^2 + 6a - 4 = (x + a + 1)^2 - (a^2 + 2a + 1) + 2a^2 + 6a - 4 = (x + a + 1)^2 + a^2 + 4a - 5$

頂点Qの座標は $(-a-1, a^2+4a-5)$。

グラフがx軸と異なる2点で交わる条件は、$a^2 + 4a - 5 < 0$。

$(a+5)(a-1) < 0$ より、$-5 < a < 1$。

A,Bのx座標は、$x^2 + (2a+2)x + 2a^2+6a-4 = 0$ の解である。解の公式より、

$x = \frac{-(2a+2) \pm \sqrt{(2a+2)^2 - 4(2a^2+6a-4)}}{2} = -a-1 \pm \sqrt{(a+1)^2 - (2a^2+6a-4)} = -a-1 \pm \sqrt{a^2+2a+1-2a^2-6a+4} = -a-1 \pm \sqrt{-a^2 - 4a + 5}$

$AB = 2\sqrt{-a^2 - 4a + 5}$。

$-a^2 - 4a + 5 = -(a^2+4a) + 5 = -(a^2 + 4a + 4) + 5 + 4 = -(a+2)^2 + 9$

$AB = 2\sqrt{-(a+2)^2+9}$ より、$a = -2$ のとき、$AB = 2\sqrt{9} = 6$ で最大値6をとる。

(3) △ABQが正三角形のとき、$MQ = \frac{\sqrt{3}}{2} AB$ が成り立つ。

$MQ = |a^2 + 4a - 5| = -(a^2 + 4a - 5)$ (∵ $-5 < a < 1$ より、頂点のy座標は負)

$\frac{\sqrt{3}}{2} AB = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 2\sqrt{-a^2 - 4a + 5} = \sqrt{3(-a^2-4a+5)}$

したがって、$-(a^2 + 4a - 5) = \sqrt{3(-a^2-4a+5)}$

$(a^2+4a-5)^2 = 3(-a^2-4a+5)$

$(a^2+4a-5)^2 + 3(a^2+4a-5) = 0$

$(a^2+4a-5)(a^2+4a-5+3) = 0$

$(a^2+4a-5)(a^2+4a-2) = 0$

$(a+5)(a-1)(a^2+4a-2)=0$

$a^2+4a-2 = 0$ より、$a = \frac{-4 \pm \sqrt{16+8}}{2} = \frac{-4 \pm \sqrt{24}}{2} = \frac{-4 \pm 2\sqrt{6}}{2} = -2 \pm \sqrt{6}$

$-5 < a < 1$ より、$a = -2 - \sqrt{6}$ は不適。$a = -2 + \sqrt{6}$ は適する。

したがって、$a = -2 \pm \sqrt{6}$

3. 最終的な答え

(1) $a = -\frac{3}{2}$ のとき、最小値 $-\frac{17}{2}$ をとる。

(2) 頂点Qの座標は $(-a-1, a^2+4a-5)$。$-5 < a < 1$。 $AB = 2\sqrt{-a^2 - 4a + 5}$。$a = -2$ のとき、最大値6をとる。

(3) $a = -2 \pm \sqrt{6}$