2次関数 $y = x^2 - 3x - 4$ のグラフを、$x$ 軸方向にどれだけ平行移動すれば原点を通るようになるか。

## 問題6

1. 問題の内容

2次関数 $y = x^2 - 3x - 4$ のグラフを、$x$ 軸方向にどれだけ平行移動すれば原点を通るようになるか。

2. 解き方の手順

放物線 $y = x^2 - 3x - 4$ を $x$ 軸方向に $p$ だけ平行移動したグラフの方程式は、$y = (x - p)^2 - 3(x - p) - 4$ となります。これが原点 $(0, 0)$ を通るためには、$x = 0$、$y = 0$ を代入したときに等式が成り立つ必要があります。

つまり、

$0 = (0 - p)^2 - 3(0 - p) - 4$

$0 = p^2 + 3p - 4$

この2次方程式を解いて、$p$ の値を求めます。

$p^2 + 3p - 4 = 0$

$(p + 4)(p - 1) = 0$

$p = -4, 1$

したがって、$x$ 軸方向に $-4$ または $1$ だけ平行移動すれば原点を通るようになります。

3. 最終的な答え

$x$ 軸方向に $-4$ または $1$ だけ平行移動すればよい。

## 問題7

1. 問題の内容

放物線 $y = x^2 - 2x + 2$ は、放物線 $y = x^2 + 4x + 3$ をどのように平行移動したものか。

2. 解き方の手順

それぞれの放物線を平方完成します。

$y = x^2 + 4x + 3 = (x + 2)^2 - 1$

$y = x^2 - 2x + 2 = (x - 1)^2 + 1$

それぞれの頂点の座標は、$(-2, -1)$ と $(1, 1)$ です。

頂点 $(-2, -1)$ を頂点 $(1, 1)$ に移す平行移動を考えます。

$x$ 座標の変化は $1 - (-2) = 3$

$y$ 座標の変化は $1 - (-1) = 2$

したがって、放物線 $y = x^2 + 4x + 3$ を $x$ 軸方向に $3$、$y$ 軸方向に $2$ だけ平行移動すると、放物線 $y = x^2 - 2x + 2$ になります。

3. 最終的な答え

$x$ 軸方向に $3$、$y$ 軸方向に $2$ だけ平行移動したもの。