与えられた3つの2次関数について、最大値または最小値を求める問題です。 (1) $y = x(x - 2)$ (2) $y = 2x^2 + 3x + 2$ (3) $y = -\frac{1}{2}x^2 - 5x + 1$

1. 問題の内容

与えられた3つの2次関数について、最大値または最小値を求める問題です。

(1) $y = x(x - 2)$

(2) $y = 2x^2 + 3x + 2$

(3) $y = -\frac{1}{2}x^2 - 5x + 1$

2. 解き方の手順

それぞれの関数を平方完成し、頂点の座標を求めます。

$x^2$ の係数が正であれば下に凸のグラフとなり、頂点で最小値を持ちます。

$x^2$ の係数が負であれば上に凸のグラフとなり、頂点で最大値を持ちます。

(1) $y = x(x - 2) = x^2 - 2x$

$y = (x - 1)^2 - 1$

頂点の座標は $(1, -1)$ で、$x^2$ の係数は1で正なので、最小値は -1です。

(2) $y = 2x^2 + 3x + 2$

$y = 2(x^2 + \frac{3}{2}x) + 2$

$y = 2(x + \frac{3}{4})^2 - 2(\frac{9}{16}) + 2$

$y = 2(x + \frac{3}{4})^2 - \frac{9}{8} + \frac{16}{8}$

$y = 2(x + \frac{3}{4})^2 + \frac{7}{8}$

頂点の座標は $(-\frac{3}{4}, \frac{7}{8})$ で、$x^2$ の係数は2で正なので、最小値は $\frac{7}{8}$です。

(3) $y = -\frac{1}{2}x^2 - 5x + 1$

$y = -\frac{1}{2}(x^2 + 10x) + 1$

$y = -\frac{1}{2}(x + 5)^2 + \frac{25}{2} + 1$

$y = -\frac{1}{2}(x + 5)^2 + \frac{25}{2} + \frac{2}{2}$

$y = -\frac{1}{2}(x + 5)^2 + \frac{27}{2}$

頂点の座標は $(-5, \frac{27}{2})$ で、$x^2$ の係数は $-\frac{1}{2}$ で負なので、最大値は $\frac{27}{2}$です。

3. 最終的な答え

(1) 最小値: -1

(2) 最小値: $\frac{7}{8}$

(3) 最大値: $\frac{27}{2}$