この問題は3つのパートに分かれています。 - 問1は、シグマ記号で表された数列の和を計算する問題です。 - 問2は、与えられたベクトルの大きさを計算する問題です。 - 問3は、ベクトルの足し算やスカラー倍を計算する問題です。

はい、承知いたしました。与えられた数学の問題を解きます。

1. 問題の内容

この問題は3つのパートに分かれています。

- 問1は、シグマ記号で表された数列の和を計算する問題です。

- 問2は、与えられたベクトルの大きさを計算する問題です。

- 問3は、ベクトルの足し算やスカラー倍を計算する問題です。

2. 解き方の手順

問1:

(1) $\sum_{i=1}^{3} i = 1 + 2 + 3 = 6$

(2) $\sum_{i=1}^{4} i = 1 + 2 + 3 + 4 = 10$

(3) $\sum_{i=2}^{4} i^2 = 2^2 + 3^2 + 4^2 = 4 + 9 + 16 = 29$

問2:

ベクトルの大きさは、各成分の二乗の和の平方根で計算します。

$\vec{v} = \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}$ のとき、 $|\vec{v}| = \sqrt{x^2 + y^2}$

(1) $\vec{y} = \begin{bmatrix} 3 \\ 2 \end{bmatrix}$

$|\vec{y}| = \sqrt{3^2 + 2^2} = \sqrt{9 + 4} = \sqrt{13}$

(2) $\vec{y} = \begin{bmatrix} 1 \\ 4 \end{bmatrix}$

$|\vec{y}| = \sqrt{1^2 + 4^2} = \sqrt{1 + 16} = \sqrt{17}$

(3) $\vec{y} = \begin{bmatrix} 0 \\ 5 \end{bmatrix}$

$|\vec{y}| = \sqrt{0^2 + 5^2} = \sqrt{0 + 25} = \sqrt{25} = 5$

問3:

(1) $\begin{bmatrix} 2 \\ 1 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 2 \\ 5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2+2 \\ 1+5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 \\ 6 \end{bmatrix}$

(2) $\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 3 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0+3 \\ 1+1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 \\ 2 \end{bmatrix}$

(3) $\begin{bmatrix} 0 \\ -1 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 5 \\ 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0+5 \\ -1+2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 \\ 1 \end{bmatrix}$

(4) $\begin{bmatrix} 1 \\ 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 3 \\ 4 \end{bmatrix}$　問題文の意図が不明なため、ベクトルとみなして計算すると以下のようになります。

$\begin{bmatrix} 1 \\ 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 \\ 4 \end{bmatrix}$　とはならないので、問題文に間違いがあると考えられます。

(5) $5\begin{bmatrix} 2 \\ 1 \end{bmatrix} + 3\begin{bmatrix} 3 \\ 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 10 \\ 5 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 9 \\ 6 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 10+9 \\ 5+6 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 19 \\ 11 \end{bmatrix}$

(6) $-5\begin{bmatrix} 2 \\ 1 \end{bmatrix} + 3\begin{bmatrix} 3 \\ 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -10 \\ -5 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 9 \\ 6 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -10+9 \\ -5+6 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 \\ 1 \end{bmatrix}$

3. 最終的な答え

問1:

(1) 6

(2) 10

(3) 29

問2:

(1) $\sqrt{13}$

(2) $\sqrt{17}$

(3) 5

問3:

(1) $\begin{bmatrix} 4 \\ 6 \end{bmatrix}$

(2) $\begin{bmatrix} 3 \\ 2 \end{bmatrix}$

(3) $\begin{bmatrix} 5 \\ 1 \end{bmatrix}$

(4) 問題文に誤りがある可能性があります。

(5) $\begin{bmatrix} 19 \\ 11 \end{bmatrix}$

(6) $\begin{bmatrix} -1 \\ 1 \end{bmatrix}$