行列 $A = \begin{pmatrix} \frac{2}{\sqrt{5}} & \frac{1}{\sqrt{5}} \\ \frac{1}{\sqrt{5}} & \frac{-2}{\sqrt{5}} \end{pmatrix}$ が与えられています。$R^2$ 上の原点Oと点 $(1,0)$, $(1,1)$, $(0,1)$ を頂点とする正方形が、行列 $A$ によってどのような図形に移るかを答えます。選択肢は長方形、正方形、平行四辺形、四角形です。

## Q6 (1) の解答

1. 問題の内容

行列 $A = \begin{pmatrix} \frac{2}{\sqrt{5}} & \frac{1}{\sqrt{5}} \\ \frac{1}{\sqrt{5}} & \frac{-2}{\sqrt{5}} \end{pmatrix}$ が与えられています。$R^2$ 上の原点Oと点 $(1,0)$, $(1,1)$, $(0,1)$ を頂点とする正方形が、行列 $A$ によってどのような図形に移るかを答えます。選択肢は長方形、正方形、平行四辺形、四角形です。

2. 解き方の手順

正方形の頂点O、(1,0)、(1,1)、(0,1)をそれぞれ行列Aで変換します。

* O(0,0)はAによって(0,0)に移ります。

* (1,0)はAによって $(\frac{2}{\sqrt{5}}, \frac{1}{\sqrt{5}})$に移ります。

* (1,1)はAによって $(\frac{3}{\sqrt{5}}, \frac{-1}{\sqrt{5}})$に移ります。

* (0,1)はAによって $(\frac{1}{\sqrt{5}}, \frac{-2}{\sqrt{5}})$に移ります。

変換後の点をP($\frac{2}{\sqrt{5}}, \frac{1}{\sqrt{5}}$), Q($\frac{3}{\sqrt{5}}, \frac{-1}{\sqrt{5}}$), R($\frac{1}{\sqrt{5}}, \frac{-2}{\sqrt{5}}$)とおきます。

$\vec{OP} = (\frac{2}{\sqrt{5}}, \frac{1}{\sqrt{5}})$

$\vec{OR} = (\frac{1}{\sqrt{5}}, \frac{-2}{\sqrt{5}})$

$\vec{OP} \cdot \vec{OR} = \frac{2}{5} - \frac{2}{5} = 0$ なので、$\vec{OP}$ と $\vec{OR}$ は直交します。

$|\vec{OP}|^2 = \frac{4}{5} + \frac{1}{5} = 1$

$|\vec{OR}|^2 = \frac{1}{5} + \frac{4}{5} = 1$

よって、$|\vec{OP}| = |\vec{OR}| = 1$ です。

したがって、変換後の図形は正方形です。

3. 最終的な答え

正方形

## Q6 (2) の解答

1. 問題の内容

ノルムが等しく、直交する $R^2$ のベクトル $x_1, x_2$ を2辺とする正方形は、行列 $A$ により $R^2$ のどのような図形に移るかを答えます。選択肢は長方形、正方形、平行四辺形、四角形です。

2. 解き方の手順

行列 $A$ は

$A = \begin{pmatrix} \frac{2}{\sqrt{5}} & \frac{1}{\sqrt{5}} \\ \frac{1}{\sqrt{5}} & \frac{-2}{\sqrt{5}} \end{pmatrix}$

であり、$A^T A = \begin{pmatrix} \frac{2}{\sqrt{5}} & \frac{1}{\sqrt{5}} \\ \frac{1}{\sqrt{5}} & \frac{-2}{\sqrt{5}} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \frac{2}{\sqrt{5}} & \frac{1}{\sqrt{5}} \\ \frac{1}{\sqrt{5}} & \frac{-2}{\sqrt{5}} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = I$ を満たすので、直交行列です。

直交行列は長さを変えず、角度を保つ性質があるので、ノルムが等しく直交するベクトルは、変換後もノルムが等しく直交します。

したがって、正方形は変換後も正方形になります。

3. 最終的な答え

正方形

## Q7 の解答

1. 問題の内容

$n \times n$ サイズの直交行列 $A$ について、"$A^T A = I$ より $A$ は必ず逆行列を持ち、$A^{-1}$ は $A$ の転置行列となる。"という文章の正誤を判断します。

2. 解き方の手順

直交行列の定義は、$A^T A = I$ を満たす行列です。ここで、$A^T$ は $A$ の転置行列、$I$ は単位行列です。$A^T A = I$ であるとき、定義より $A^T$ は $A$ の逆行列 $A^{-1}$ となります。したがって、$A^{-1} = A^T$ が成り立ちます。

3. 最終的な答え

正しい