$y$ は $x$ に反比例し、そのグラフは点A(2, 5)を通る。$x$ の変域が $1 \le x \le 5$ のときの $y$ の変域を求めよ。

1. 問題の内容

$y$ は $x$ に反比例し、そのグラフは点A(2, 5)を通る。$x$ の変域が $1 \le x \le 5$ のときの $y$ の変域を求めよ。

2. 解き方の手順

反比例の関係式は $y = \frac{a}{x}$ と表される。

点A(2, 5)を通るので、これを代入して比例定数 $a$ を求める。

$5 = \frac{a}{2}$ より、 $a = 5 \times 2 = 10$

したがって、反比例の式は $y = \frac{10}{x}$ となる。

次に、$x$ の変域 $1 \le x \le 5$ に対する $y$ の値を求める。

$y = \frac{10}{x}$ は $x$ が増加すると $y$ は減少する関数なので、

$x = 1$ のとき $y$ は最大値をとり、

$x = 5$ のとき $y$ は最小値をとる。

$x = 1$ のとき、 $y = \frac{10}{1} = 10$

$x = 5$ のとき、 $y = \frac{10}{5} = 2$

よって、$y$ の変域は $2 \le y \le 10$ となる。

3. 最終的な答え

$2 \le y \le 10$