放物線 $y = x^2 + bx + c$ を $x$ 軸方向に $-2$, $y$ 軸方向に $5$ 平行移動した放物線の頂点が $(0, 2)$ であるとき、定数 $b, c$ の値を求めよ。

承知いたしました。画像にある問題のうち、8番の問題を解きます。

1. 問題の内容

放物線 $y = x^2 + bx + c$ を $x$ 軸方向に $-2$, $y$ 軸方向に $5$ 平行移動した放物線の頂点が $(0, 2)$ であるとき、定数 $b, c$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

放物線 $y = x^2 + bx + c$ を $x$ 軸方向に $-2$, $y$ 軸方向に $5$ 平行移動した放物線の方程式は、

$y - 5 = (x + 2)^2 + b(x + 2) + c$

$y = (x + 2)^2 + b(x + 2) + c + 5$

$y = x^2 + 4x + 4 + bx + 2b + c + 5$

$y = x^2 + (4 + b)x + (9 + 2b + c)$

この放物線の頂点の $x$ 座標は、

$x = -\frac{4 + b}{2}$

頂点の座標が $(0, 2)$ であるから、

$-\frac{4 + b}{2} = 0$

$4 + b = 0$

$b = -4$

したがって、

$y = x^2 + (4 - 4)x + (9 + 2(-4) + c)$

$y = x^2 + (9 - 8 + c)$

$y = x^2 + 1 + c$

頂点の $y$ 座標は $1 + c$ であり、頂点の座標が $(0, 2)$ であるから、

$1 + c = 2$

$c = 1$

3. 最終的な答え

$b = -4$

$c = 1$