与えられた4つの式を有理化し、簡単にしてください。

はい、承知いたしました。与えられた4つの問題について、それぞれ解答を以下に示します。

1. 問題の内容

与えられた4つの式を有理化し、簡単にしてください。

2. 解き方の手順

(5) $\frac{1}{\sqrt{10} + \sqrt{7}}$

分母の有理化のために、分母の共役$\sqrt{10} - \sqrt{7}$を分子と分母に掛けます。

$$\frac{1}{\sqrt{10} + \sqrt{7}} = \frac{1}{\sqrt{10} + \sqrt{7}} \cdot \frac{\sqrt{10} - \sqrt{7}}{\sqrt{10} - \sqrt{7}} = \frac{\sqrt{10} - \sqrt{7}}{(\sqrt{10})^2 - (\sqrt{7})^2} = \frac{\sqrt{10} - \sqrt{7}}{10 - 7} = \frac{\sqrt{10} - \sqrt{7}}{3}$$

(6) $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{7} - \sqrt{3}}$

分母の有理化のために、分母の共役$\sqrt{7} + \sqrt{3}$を分子と分母に掛けます。

$$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{7} - \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{7} - \sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{7} + \sqrt{3}}{\sqrt{7} + \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{2}(\sqrt{7} + \sqrt{3})}{(\sqrt{7})^2 - (\sqrt{3})^2} = \frac{\sqrt{14} + \sqrt{6}}{7 - 3} = \frac{\sqrt{14} + \sqrt{6}}{4}$$

(7) $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{3}}{\sqrt{6} + \sqrt{3}}$

分母の有理化のために、分母の共役$\sqrt{6} - \sqrt{3}$を分子と分母に掛けます。

$$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{3}}{\sqrt{6} + \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{3}}{\sqrt{6} + \sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{6} - \sqrt{3}}{\sqrt{6} - \sqrt{3}} = \frac{(\sqrt{6} - \sqrt{3})^2}{(\sqrt{6})^2 - (\sqrt{3})^2} = \frac{6 - 2\sqrt{18} + 3}{6 - 3} = \frac{9 - 2 \cdot 3\sqrt{2}}{3} = \frac{9 - 6\sqrt{2}}{3} = 3 - 2\sqrt{2}$$

(8) $\frac{\sqrt{7} + 5}{\sqrt{7} - 5}$

分母の有理化のために、分母の共役$\sqrt{7} + 5$を分子と分母に掛けます。

$$\frac{\sqrt{7} + 5}{\sqrt{7} - 5} = \frac{\sqrt{7} + 5}{\sqrt{7} - 5} \cdot \frac{\sqrt{7} + 5}{\sqrt{7} + 5} = \frac{(\sqrt{7} + 5)^2}{(\sqrt{7})^2 - 5^2} = \frac{7 + 2 \cdot 5\sqrt{7} + 25}{7 - 25} = \frac{32 + 10\sqrt{7}}{-18} = \frac{16 + 5\sqrt{7}}{-9} = -\frac{16 + 5\sqrt{7}}{9}$$

3. 最終的な答え

(5) $\frac{\sqrt{10} - \sqrt{7}}{3}$

(6) $\frac{\sqrt{14} + \sqrt{6}}{4}$

(7) $3 - 2\sqrt{2}$

(8) $-\frac{16 + 5\sqrt{7}}{9}$