$0 \le x < 2\pi$ のとき、不等式 $\cos 2x + 5 \cos x - 2 > 0$ を解け。

代数学三角関数不等式二次不等式三角関数の合成
2025/7/27

1. 問題の内容

0x<2π0 \le x < 2\pi のとき、不等式 cos2x+5cosx2>0\cos 2x + 5 \cos x - 2 > 0 を解け。

2. 解き方の手順

まず、cos2x\cos 2xcosx\cos x を用いて書き換えます。
cos2x=2cos2x1\cos 2x = 2 \cos^2 x - 1 であるから、与えられた不等式は
2cos2x1+5cosx2>02 \cos^2 x - 1 + 5 \cos x - 2 > 0
2cos2x+5cosx3>02 \cos^2 x + 5 \cos x - 3 > 0
次に、cosx=t\cos x = t とおくと、1t1-1 \le t \le 1 であり、不等式は
2t2+5t3>02t^2 + 5t - 3 > 0
(2t1)(t+3)>0(2t - 1)(t + 3) > 0
これより、t<3t < -3 または t>12t > \frac{1}{2} となります。
1t1-1 \le t \le 1 であるから、t>12t > \frac{1}{2}
したがって、cosx>12\cos x > \frac{1}{2}
0x<2π0 \le x < 2\pi の範囲で cosx>12\cos x > \frac{1}{2} となる xx の範囲は
0x<π30 \le x < \frac{\pi}{3} または 5π3<x<2π\frac{5\pi}{3} < x < 2\pi

3. 最終的な答え

0x<π30 \le x < \frac{\pi}{3}, 5π3<x<2π\frac{5\pi}{3} < x < 2\pi

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