1. 問題の内容
与えられた4つの行列のランクを求める。
2. 解き方の手順
行列のランクは、行列を簡約化したときの0でない行の数に等しい。各行列を簡約化してランクを求める。
(1) の行列:
\begin{pmatrix}
2 & 1 & 2 \\
0 & 1 & 2 \\
1 & 0 & 1
\end{pmatrix}
1行目と3行目を入れ替える。
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 1 \\
0 & 1 & 2 \\
2 & 1 & 2
\end{pmatrix}
3行目から1行目の2倍を引く。
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 1 \\
0 & 1 & 2 \\
0 & 1 & 0
\end{pmatrix}
3行目から2行目を引く。
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 1 \\
0 & 1 & 2 \\
0 & 0 & -2
\end{pmatrix}
ランクは3。
(2) の行列:
\begin{pmatrix}
2 & -3 & 1 & 0 \\
0 & 1 & 5 & -4 \\
1 & -1 & 3 & -2 \\
2 & -5 & -9 & 8
\end{pmatrix}
1行目と3行目を入れ替える。
\begin{pmatrix}
1 & -1 & 3 & -2 \\
0 & 1 & 5 & -4 \\
2 & -3 & 1 & 0 \\
2 & -5 & -9 & 8
\end{pmatrix}
3行目から1行目の2倍を引く。
4行目から1行目の2倍を引く。
\begin{pmatrix}
1 & -1 & 3 & -2 \\
0 & 1 & 5 & -4 \\
0 & -1 & -5 & 4 \\
0 & -3 & -15 & 12
\end{pmatrix}
3行目に2行目を足す。
4行目に2行目の3倍を足す。
\begin{pmatrix}
1 & -1 & 3 & -2 \\
0 & 1 & 5 & -4 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
ランクは2。
(3) の行列:
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 \\
1 & 5 & -3 \\
1 & -1 & 9 \\
2 & 6 & 2
\end{pmatrix}
2行目から1行目を引く。
3行目から1行目を引く。
4行目から1行目の2倍を引く。
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 \\
0 & 3 & -6 \\
0 & -3 & 6 \\
0 & 2 & -4
\end{pmatrix}
2行目を3で割る。
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 \\
0 & 1 & -2 \\
0 & -3 & 6 \\
0 & 2 & -4
\end{pmatrix}
3行目に2行目の3倍を足す。
4行目から2行目の2倍を引く。
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 \\
0 & 1 & -2 \\
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
ランクは2。
(4) の行列:
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 \\
4 & 5 & 6 \\
7 & 8 & 9
\end{pmatrix}
2行目から1行目の4倍を引く。
3行目から1行目の7倍を引く。
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 \\
0 & -3 & -6 \\
0 & -6 & -12
\end{pmatrix}
2行目を-3で割る。
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 \\
0 & 1 & 2 \\
0 & -6 & -12
\end{pmatrix}
3行目に2行目の6倍を足す。
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 \\
0 & 1 & 2 \\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
ランクは2。
3. 最終的な答え
(1) ランク: 3
(2) ランク: 2
(3) ランク: 2
(4) ランク: 2