与えられた行列の逆行列を基本変形を用いて求める問題です。 (1) $ \begin{pmatrix} 1 & 5 \\ -2 & 4 \end{pmatrix} $ (2) $ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 3 & 4 \\ 2 & 4 & 7 \end{pmatrix} $

1. 問題の内容

与えられた行列の逆行列を基本変形を用いて求める問題です。

(1) $\begin{pmatrix} 1 & 5 \\ -2 & 4 \end{pmatrix}$

(2) $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 3 & 4 \\ 2 & 4 & 7 \end{pmatrix}$

2. 解き方の手順

基本変形を用いて逆行列を求めるには、与えられた行列$A$と単位行列$I$を並べた拡大行列$(A | I)$を作り、この拡大行列に基本変形を施して、$(I | A^{-1})$の形に変形します。このとき、$A^{-1}$が求める逆行列となります。

(1)

まず、与えられた行列$A$と単位行列$I$を並べた拡大行列を作成します。

$\begin{pmatrix} 1 & 5 & | & 1 & 0 \\ -2 & 4 & | & 0 & 1 \end{pmatrix}$

次に、基本変形を用いて左側を行列が単位行列になるように変形します。

2行目を1行目の2倍を足します。$R_2 \rightarrow R_2 + 2R_1$

$\begin{pmatrix} 1 & 5 & | & 1 & 0 \\ 0 & 14 & | & 2 & 1 \end{pmatrix}$

2行目を1/14倍します。$R_2 \rightarrow \frac{1}{14}R_2$

$\begin{pmatrix} 1 & 5 & | & 1 & 0 \\ 0 & 1 & | & \frac{1}{7} & \frac{1}{14} \end{pmatrix}$

1行目から2行目の5倍を引きます。$R_1 \rightarrow R_1 - 5R_2$

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & | & \frac{2}{7} & -\frac{5}{14} \\ 0 & 1 & | & \frac{1}{7} & \frac{1}{14} \end{pmatrix}$

したがって、逆行列は

$\begin{pmatrix} \frac{2}{7} & -\frac{5}{14} \\ \frac{1}{7} & \frac{1}{14} \end{pmatrix}$

(2)

与えられた行列$A$と単位行列$I$を並べた拡大行列を作成します。

$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & | & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 3 & 4 & | & 0 & 1 & 0 \\ 2 & 4 & 7 & | & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

2行目から1行目を引きます。$R_2 \rightarrow R_2 - R_1$

$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & | & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & | & -1 & 1 & 0 \\ 2 & 4 & 7 & | & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

3行目から1行目の2倍を引きます。$R_3 \rightarrow R_3 - 2R_1$

$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & | & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & | & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & | & -2 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

1行目から2行目の2倍を引きます。$R_1 \rightarrow R_1 - 2R_2$

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & | & 3 & -2 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & | & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & | & -2 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

1行目から3行目を引きます。$R_1 \rightarrow R_1 - R_3$

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & | & 5 & -2 & -1 \\ 0 & 1 & 1 & | & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & | & -2 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

2行目から3行目を引きます。$R_2 \rightarrow R_2 - R_3$

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & | & 5 & -2 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & | & 1 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & | & -2 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

したがって、逆行列は

$\begin{pmatrix} 5 & -2 & -1 \\ 1 & 1 & -1 \\ -2 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

3. 最終的な答え

(1) $\begin{pmatrix} \frac{2}{7} & -\frac{5}{14} \\ \frac{1}{7} & \frac{1}{14} \end{pmatrix}$

(2) $\begin{pmatrix} 5 & -2 & -1 \\ 1 & 1 & -1 \\ -2 & 0 & 1 \end{pmatrix}$