与えられた行列のランクを求める問題です。行列は以下の通りです。 $\begin{pmatrix} 2 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 2 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

1. 問題の内容

与えられた行列のランクを求める問題です。行列は以下の通りです。

$\begin{pmatrix} 2 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 2 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

2. 解き方の手順

行列のランクは、行列を簡約化（行基本変形）して得られるゼロでない行の数です。

1. まず、1行目を2で割ります。

$\begin{pmatrix} 1 & 1/2 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

2. 3行目から1行目を引きます。

$\begin{pmatrix} 1 & 1/2 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & -1/2 & 0 \end{pmatrix}$

3. 3行目に2行目の1/2倍を加えます。

$\begin{pmatrix} 1 & 1/2 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

4. 1行目から2行目の1/2倍を引きます。

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

5. 2行目から3行目の2倍を引きます。

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

簡約化された行列は単位行列です。ゼロでない行の数は3です。したがって、ランクは3です。

または、行列式を計算することもできます。行列式がゼロでなければ、ランクは3です。

$\det \begin{pmatrix} 2 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 2 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix} = 2(1\cdot1 - 2\cdot0) - 1(0\cdot1 - 2\cdot1) + 2(0\cdot0 - 1\cdot1) = 2(1) - 1(-2) + 2(-1) = 2 + 2 - 2 = 2$

行列式は0ではないので、ランクは3です。

3. 最終的な答え

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