2次関数 $f(x) = x^2 + 2ax - 2a + 3$ について、以下の問いに答える。 (1) $a = -3$ のとき、$f(x) > 0$ を満たす $x$ の範囲を求める。 (2) 方程式 $f(x) = 0$ が実数解を持ち、すべての解が $-4 \le x \le 0$ の範囲にあるような $a$ の値の範囲を求める。 (3) $2 \le x \le 3$ を満たすすべての $x$ に対して、$f(x) \le 0$ が成り立つような $a$ の値の範囲を求める。 (4) $-4 \le x \le 0$ を満たす少なくとも一つの $x$ に対して、$f(x) > 0$ が成り立つような $a$ の値の範囲を求める。

1. 問題の内容

2次関数 $f(x) = x^2 + 2ax - 2a + 3$ について、以下の問いに答える。

(1) $a = -3$ のとき、$f(x) > 0$ を満たす $x$ の範囲を求める。

(2) 方程式 $f(x) = 0$ が実数解を持ち、すべての解が $-4 \le x \le 0$ の範囲にあるような $a$ の値の範囲を求める。

(3) $2 \le x \le 3$ を満たすすべての $x$ に対して、$f(x) \le 0$ が成り立つような $a$ の値の範囲を求める。

(4) $-4 \le x \le 0$ を満たす少なくとも一つの $x$ に対して、$f(x) > 0$ が成り立つような $a$ の値の範囲を求める。

2. 解き方の手順

(1) $a = -3$ のとき、$f(x) = x^2 - 6x + 9 = (x - 3)^2$ となる。

$f(x) > 0$ より、$(x - 3)^2 > 0$ となり、$x \ne 3$ を満たす全ての $x$。

したがって、$x < 3$, $3 < x$

(2) $f(x) = 0$ が実数解を持つためには、判別式 $D \ge 0$ である必要がある。

$D/4 = a^2 - (-2a + 3) = a^2 + 2a - 3 = (a + 3)(a - 1) \ge 0$

より、$a \le -3$ または $a \ge 1$。

解を $\alpha, \beta$ とすると、解と係数の関係より、$\alpha + \beta = -2a$、$\alpha \beta = -2a + 3$。

$-4 \le \alpha \le 0$ かつ $-4 \le \beta \le 0$ である必要がある。

$f(-4) \ge 0$ かつ $f(0) \ge 0$ かつ 軸 $-a$ について$-4 \le -a \le 0$。

$f(-4) = 16 - 8a - 2a + 3 = -10a + 19 \ge 0$ より、$a \le \frac{19}{10}$。

$f(0) = -2a + 3 \ge 0$ より、$a \le \frac{3}{2}$。

$-4 \le -a \le 0$ より、$0 \le a \le 4$。

また、$f(-2) \le 0$ が必要。 $f(-2)= 4-4a-2a+3=-6a+7 \le 0$, $a \ge 7/6$。

したがって、$1 \le a \le \frac{19}{10}$.

(3) $2 \le x \le 3$ において、$f(x) \le 0$ であるためには、$f(2) \le 0$ かつ $f(3) \le 0$ であればよい。

$f(2) = 4 + 4a - 2a + 3 = 2a + 7 \le 0$ より、$a \le -\frac{7}{2}$。

$f(3) = 9 + 6a - 2a + 3 = 4a + 12 \le 0$ より、$a \le -3$。

よって、$a \le -3$。

(4) $-4 \le x \le 0$ において、$f(x) > 0$ となる $x$ が少なくとも一つ存在するためには、$f(x)$ の最小値が正であればよい。

$f(x) = (x + a)^2 - a^2 - 2a + 3$.

軸 $x = -a$。

(i) $-4 \le -a \le 0$, つまり $0 \le a \le 4$ のとき、$f(-a) = -a^2 - 2a + 3 > 0$ より、$a^2 + 2a - 3 < 0$。

$(a + 3)(a - 1) < 0$ より、$-3 < a < 1$。

したがって、$0 \le a < 1$。

(ii) $-a > 0$, つまり $a < 0$ のとき、$f(0) > 0$ より、$-2a + 3 > 0$ より、$a < \frac{3}{2}$。

したがって、$a < 0$。

(iii) $-a < -4$, つまり $a > 4$ のとき、$f(-4) > 0$ より、$-10a + 19 > 0$ より、$a < \frac{19}{10}$。これは $a > 4$ と矛盾。

したがって、$a < 1$。

3. 最終的な答え

(1) ア：3, イ：3

(2) ウ：1, エ：19, オ：10

(3) カキ：-3, ク：1

(4) ケコ：1, サシ：1