与えられた4つの行列のランクをそれぞれ求めます。

1. 問題の内容

与えられた4つの行列のランクをそれぞれ求めます。

2. 解き方の手順

行列のランクは、その行列の線形独立な行（または列）の最大数です。

行列の基本変形（行の入れ替え、行のスカラー倍、行の線形結合）を行って、階段行列に変形し、0でない行の数を数えることでランクを求めます。

(1)

行列 $\begin{pmatrix} 2 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 2 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ に対して、行の入れ替え、定数倍、行の加減を行い、階段行列に変形します。

まず1行目と3行目を入れ替えます。

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \\ 2 & 1 & 2 \end{pmatrix}$

次に3行目から1行目の2倍を引きます。

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}$

最後に3行目から2行目を引きます。

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & -2 \end{pmatrix}$

この階段行列には0でない行が3つあるため、ランクは3です。

(2)

行列 $\begin{pmatrix} 2 & -3 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 5 & -4 \\ 1 & -1 & 3 & -2 \\ 2 & -5 & -9 & 8 \end{pmatrix}$ に対して同様に計算します。

まず1行目と3行目を入れ替えます。

$\begin{pmatrix} 1 & -1 & 3 & -2 \\ 0 & 1 & 5 & -4 \\ 2 & -3 & 1 & 0 \\ 2 & -5 & -9 & 8 \end{pmatrix}$

3行目と4行目から1行目の2倍を引きます。

$\begin{pmatrix} 1 & -1 & 3 & -2 \\ 0 & 1 & 5 & -4 \\ 0 & -1 & -5 & 4 \\ 0 & -3 & -15 & 12 \end{pmatrix}$

3行目に2行目を足し、4行目に2行目の3倍を足します。

$\begin{pmatrix} 1 & -1 & 3 & -2 \\ 0 & 1 & 5 & -4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

この階段行列には0でない行が2つあるため、ランクは2です。

(3)

行列 $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 5 & -3 \\ 1 & -1 & 9 \\ 2 & 6 & 2 \end{pmatrix}$ に対して同様に計算します。

2, 3, 4行目から1行目をそれぞれ引く、引く、2倍引きます。

$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 3 & -6 \\ 0 & -3 & 6 \\ 0 & 2 & -4 \end{pmatrix}$

3行目に2行目を足し、4行目に2行目の2/3倍を足します。

$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 3 & -6 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

この階段行列には0でない行が2つあるため、ランクは2です。

(4)

行列 $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{pmatrix}$ に対して同様に計算します。

2, 3行目から1行目をそれぞれ4倍引く、7倍引きます。

$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & -3 & -6 \\ 0 & -6 & -12 \end{pmatrix}$

3行目から2行目の2倍を引きます。

$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & -3 & -6 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

この階段行列には0でない行が2つあるため、ランクは2です。

3. 最終的な答え

(1) 3

(2) 2

(3) 2

(4) 2