与えられた2次不等式 $-2x^2 + 2x + 1 > 0$ を解き、$x$ の範囲を求める問題です。

はい、承知いたしました。

1. 問題の内容

与えられた2次不等式 $-2x^2 + 2x + 1 > 0$ を解き、$x$ の範囲を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、不等式の両辺に -1 を掛けて、$x^2$ の係数を正にします。

このとき、不等号の向きが変わることに注意してください。

$2x^2 - 2x - 1 < 0$

次に、2次方程式 $2x^2 - 2x - 1 = 0$ の解を求めます。

解の公式 $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ を用います。ここで、$a = 2$, $b = -2$, $c = -1$ です。

$x = \frac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1)}}{2 \cdot 2}$

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 8}}{4}$

$x = \frac{2 \pm \sqrt{12}}{4}$

$x = \frac{2 \pm 2\sqrt{3}}{4}$

$x = \frac{1 \pm \sqrt{3}}{2}$

したがって、2次方程式の解は、$x = \frac{1 + \sqrt{3}}{2}$ と $x = \frac{1 - \sqrt{3}}{2}$ です。

2次不等式 $2x^2 - 2x - 1 < 0$ は、2次関数のグラフが $x$ 軸より下にある範囲を求めることになります。

$x^2$ の係数が正なので、グラフは下に凸の放物線になります。したがって、解は2つの解の間の範囲になります。

$\frac{1 - \sqrt{3}}{2} < x < \frac{1 + \sqrt{3}}{2}$

3. 最終的な答え

$\frac{1 - \sqrt{3}}{2} < x < \frac{1 + \sqrt{3}}{2}$