(1) 2次方程式 $x^2 - 2kx + 3k - 2 = 0$ が重解を持つとき、定数 $k$ の値とそのときの解を求めよ。 (2) 2次方程式 $x^2 - 3x + k + 1 = 0$ が実数解をもたないような定数 $k$ の値の範囲を求めよ。

はい、承知いたしました。問題文を読み解き、解答を作成します。

1. 問題の内容

(1) 2次方程式 $x^2 - 2kx + 3k - 2 = 0$ が重解を持つとき、定数 $k$ の値とそのときの解を求めよ。

(2) 2次方程式 $x^2 - 3x + k + 1 = 0$ が実数解をもたないような定数 $k$ の値の範囲を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

2次方程式が重解を持つ条件は、判別式 $D = 0$ であることです。

与えられた2次方程式の判別式 $D$ は、

$D = (-2k)^2 - 4(1)(3k-2) = 4k^2 - 12k + 8$

$D = 0$ となる $k$ を求めるため、$4k^2 - 12k + 8 = 0$ を解きます。

両辺を4で割ると、$k^2 - 3k + 2 = 0$

$(k-1)(k-2) = 0$ より、$k = 1, 2$

$k=1$ のとき、2次方程式は $x^2 - 2x + 1 = 0$ となり、$(x-1)^2 = 0$ より、$x = 1$ (重解)

$k=2$ のとき、2次方程式は $x^2 - 4x + 4 = 0$ となり、$(x-2)^2 = 0$ より、$x = 2$ (重解)

(2)

2次方程式が実数解を持たない条件は、判別式 $D < 0$ であることです。

与えられた2次方程式の判別式 $D$ は、

$D = (-3)^2 - 4(1)(k+1) = 9 - 4k - 4 = 5 - 4k$

$D < 0$ となる $k$ を求めるため、$5 - 4k < 0$ を解きます。

$4k > 5$ より、$k > \frac{5}{4}$

3. 最終的な答え

(1)

$k = 1$ のとき、$x = 1$

$k = 2$ のとき、$x = 2$

(2)

$k > \frac{5}{4}$