関数 $y=x^2$ のグラフ上に2点A, Bがあり、それぞれのx座標は-2, 3である。直線ABとy軸との交点をCとし、傾きが2で点Bを通る直線とy軸との交点をDとする。 (1) 点Dの座標を求めよ。 (2) 直線ABの式を求めよ。 (3) 三角形ADBの面積を求めよ。 (4) 三角形BCDの面積と三角形BCPの面積が等しくなるようなx軸上の点Pのx座標を求めよ。 (5) 三角形AQBの周の長さが最小になるようにx軸上に点Qをとる。このとき、点Qのx座標を求めよ。

はい、承知いたしました。問題を解いていきます。

1. 問題の内容

関数 $y=x^2$ のグラフ上に2点A, Bがあり、それぞれのx座標は-2, 3である。直線ABとy軸との交点をCとし、傾きが2で点Bを通る直線とy軸との交点をDとする。

(1) 点Dの座標を求めよ。

(2) 直線ABの式を求めよ。

(3) 三角形ADBの面積を求めよ。

(4) 三角形BCDの面積と三角形BCPの面積が等しくなるようなx軸上の点Pのx座標を求めよ。

(5) 三角形AQBの周の長さが最小になるようにx軸上に点Qをとる。このとき、点Qのx座標を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 点Dの座標を求める。

点Bの座標は $(3, 3^2) = (3, 9)$である。傾き2で点Bを通る直線の式は、$y - 9 = 2(x - 3)$より、$y = 2x + 3$。この直線とy軸との交点がDなので、Dの座標は$(0, 3)$。

(2) 直線ABの式を求める。

点Aの座標は $(-2, (-2)^2) = (-2, 4)$である。A(-2, 4), B(3, 9)を通る直線の傾きは$\frac{9-4}{3-(-2)} = \frac{5}{5} = 1$。よって、直線ABの式は、$y - 4 = 1(x - (-2))$より、$y = x + 6$。

(3) 三角形ADBの面積を求める。

A(-2, 4), B(3, 9), D(0, 3)である。直線ADの式は、$y = \frac{1}{2}x+3$、直線BDの式は、$y=2x+3$である。

線分ADを底辺とすると、ADの長さは $\sqrt{(-2-0)^2 + (4-3)^2} = \sqrt{5}$である。Dから直線ABまでの距離を求める。

直線ABの式は$x - y + 6 = 0$である。点D(0, 3)と直線ABの距離は、$\frac{|0 - 3 + 6|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}} = \frac{3}{\sqrt{2}} = \frac{3\sqrt{2}}{2}$である。

線分ADの長さを計算するよりも、全体の座標から計算した方が簡単である。

三角形ADBの面積は、$\frac{1}{2} |(-2 \times (9-3) + 3 \times (3-4) + 0 \times (4-9))| = \frac{1}{2} |(-12 -3 + 0)| = \frac{15}{2}$。

(4) 三角形BCDの面積と三角形BCPの面積が等しくなるようなx軸上の点Pのx座標を求める。

B(3, 9), C(0, 6), D(0, 3)である。

三角形BCDの面積は$\frac{1}{2} \times (6-3) \times 3 = \frac{9}{2}$である。

点Pの座標を(p, 0)とする。

三角形BCPの面積は、$\frac{1}{2} |(3 \times (6-0) + 0 \times (0-9) + p \times (9-6))| = \frac{1}{2} |18 + 3p|$である。

$\frac{1}{2} |18 + 3p| = \frac{9}{2}$より、$|18+3p| = 9$。

$18+3p = 9$のとき、$3p = -9$より、$p = -3$。

$18+3p = -9$のとき、$3p = -27$より、$p = -9$。

したがって、点Pのx座標は-3, -9。

(5) 三角形AQBの周の長さが最小になるようにx軸上に点Qをとる。

A(-2, 4), B(3, 9)である。x軸に関して点Aの対称点をA'とすると、A'(-2, -4)である。直線A'Bとx軸の交点が点Qである。

直線A'Bの式は、$\frac{9-(-4)}{3-(-2)} = \frac{13}{5}$より、$y - (-4) = \frac{13}{5}(x - (-2))$。$y = \frac{13}{5}x + \frac{26}{5} - 4 = \frac{13}{5}x + \frac{6}{5}$。

点Qはx軸上にあるので、y=0。$0 = \frac{13}{5}x + \frac{6}{5}$より、$\frac{13}{5}x = -\frac{6}{5}$、$x = -\frac{6}{13}$。

したがって、点Qのx座標は$-\frac{6}{13}$。

3. 最終的な答え

(1) (0, 3)

(2) $y = x + 6$

(3) $\frac{15}{2}$

(4) -3, -9

(5) $-\frac{6}{13}$