関数 $f(x) = \frac{3x+2}{x+a}$ について、合成関数 $(f \circ f)(x) = x$ が成り立つような定数 $a$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = \frac{3x+2}{x+a}$ について、合成関数 $(f \circ f)(x) = x$ が成り立つような定数 $a$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$f(f(x))$ を計算します。

$f(x)$ を $f$ に代入するので、

$$f(f(x)) = f\left(\frac{3x+2}{x+a}\right) = \frac{3\left(\frac{3x+2}{x+a}\right) + 2}{\frac{3x+2}{x+a} + a}$$

次に、右辺を整理します。分子と分母に $(x+a)$ を掛けます。

$$f(f(x)) = \frac{3(3x+2) + 2(x+a)}{3x+2 + a(x+a)}$$

$$f(f(x)) = \frac{9x+6+2x+2a}{3x+2+ax+a^2}$$

$$f(f(x)) = \frac{11x+6+2a}{(3+a)x+2+a^2}$$

問題文より、$f(f(x)) = x$ であるので、

$$\frac{11x+6+2a}{(3+a)x+2+a^2} = x$$

$$11x+6+2a = x((3+a)x+2+a^2)$$

$$11x+6+2a = (3+a)x^2 + (2+a^2)x$$

この式が任意の $x$ について成り立つためには、$x^2$ の係数が0でなければならないため、$3+a=0$、つまり $a=-3$。

このとき、

$11x + 6 + 2a = (2+a^2)x$

$11x + 6 + 2(-3) = (2+(-3)^2)x$

$11x + 6 - 6 = (2+9)x$

$11x = 11x$

となり、確かに成り立つ。

よって、$a = -3$

3. 最終的な答え

$a = -3$