行列 $A = \begin{bmatrix} 3 & 4 \\ 2 & 8 \end{bmatrix}$ とベクトル $b = \begin{bmatrix} p \\ q \end{bmatrix}$ が与えられている。係数行列 $A$ と拡大係数行列 $[A, b]$ の階数(rank)をそれぞれ求め、$rank A = rank [A, b] = 2$ であることを確認する。

1. 問題の内容

行列 $A = \begin{bmatrix} 3 & 4 \\ 2 & 8 \end{bmatrix}$ とベクトル $b = \begin{bmatrix} p \\ q \end{bmatrix}$ が与えられている。係数行列 $A$ と拡大係数行列 $[A, b]$ の階数(rank)をそれぞれ求め、$rank A = rank [A, b] = 2$ であることを確認する。

2. 解き方の手順

まず、行列 $A$ の階数を求める。$A$ の行列式を計算する。

$det(A) = (3)(8) - (4)(2) = 24 - 8 = 16$

行列式 $det(A) = 16 \neq 0$ なので、$A$ は正則行列であり、$rank A = 2$ である。

次に、拡大係数行列 $[A, b]$ を考える。

$[A, b] = \begin{bmatrix} 3 & 4 & p \\ 2 & 8 & q \end{bmatrix}$

$A$ の階数が 2 であることから、$A$ の列ベクトルは線形独立である。したがって、$b$ がどのようなベクトルであっても、$rank [A, b] = 2$ である。なぜなら、$\begin{bmatrix} 3 \\ 2\end{bmatrix}$と$\begin{bmatrix} 4 \\ 8\end{bmatrix}$は線形独立なため、どのような$b = \begin{bmatrix} p \\ q \end{bmatrix}$も$\begin{bmatrix} 3 \\ 2\end{bmatrix}$と$\begin{bmatrix} 4 \\ 8\end{bmatrix}$の線形結合で表せない限り$[A,b]$の階数は2となる。仮に、$b$が $A$ の列ベクトルの線形結合で表せれば，$rank[A, b]=2$となる。もし $b$が $A$ の列ベクトルと線形独立であれば、rank$[A,b]=3$になってしまう。しかし、$A$は2x2の行列なので、rankの最大値は2である。

したがって、常に $rank [A, b] = 2$ である。

$rank A = 2$ かつ $rank [A, b] = 2$ なので、$rank A = rank [A, b] = 2$ である。

3. 最終的な答え

$rank A = 2$

$rank [A, b] = 2$

したがって、$rank A = rank [A, b] = 2$ が確認できた。