関数 $y = ax + b$ ($a > 0$) の逆関数が $y = ax + 3$ であるとき、定数 $a, b$ の値を求める。

1. 問題の内容

関数 $y = ax + b$ ($a > 0$) の逆関数が $y = ax + 3$ であるとき、定数 $a, b$ の値を求める。

2. 解き方の手順

まず、関数 $y = ax + b$ の逆関数を求める。

$x$ と $y$ を入れ替えると、$x = ay + b$ となる。

これを $y$ について解くと、

$ay = x - b$

$y = \frac{1}{a}x - \frac{b}{a}$

これが逆関数である。問題文より、逆関数は $y = ax + 3$ なので、

$\frac{1}{a}x - \frac{b}{a} = ax + 3$

この式が任意の $x$ について成り立つためには、各係数が等しくなければならない。

したがって、

$\frac{1}{a} = a$

$-\frac{b}{a} = 3$

最初の式から $a^2 = 1$ が得られる。 $a > 0$ という条件より、$a = 1$ となる。

次の式に $a = 1$ を代入すると、$-b = 3$ より $b = -3$ となる。

3. 最終的な答え

$a = 1, b = -3$