関数 $f(x) = \frac{2x+1}{x+3}$ と $g(x) = \frac{-3x+4}{x-2}$ が与えられています。合成関数 $(g \circ f)(x)$ と $(f \circ g)(x)$ をそれぞれ求めます。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = \frac{2x+1}{x+3}$ と $g(x) = \frac{-3x+4}{x-2}$ が与えられています。合成関数 $(g \circ f)(x)$ と $(f \circ g)(x)$ をそれぞれ求めます。

2. 解き方の手順

まず、$(g \circ f)(x) = g(f(x))$ を求めます。

$g(f(x)) = g(\frac{2x+1}{x+3}) = \frac{-3(\frac{2x+1}{x+3})+4}{\frac{2x+1}{x+3}-2}$

分母分子に $(x+3)$ をかけます。

$g(f(x)) = \frac{-3(2x+1)+4(x+3)}{2x+1-2(x+3)} = \frac{-6x-3+4x+12}{2x+1-2x-6} = \frac{-2x+9}{-5} = \frac{2x-9}{5}$

次に、$(f \circ g)(x) = f(g(x))$ を求めます。

$f(g(x)) = f(\frac{-3x+4}{x-2}) = \frac{2(\frac{-3x+4}{x-2})+1}{\frac{-3x+4}{x-2}+3}$

分母分子に $(x-2)$ をかけます。

$f(g(x)) = \frac{2(-3x+4)+1(x-2)}{-3x+4+3(x-2)} = \frac{-6x+8+x-2}{-3x+4+3x-6} = \frac{-5x+6}{-2} = \frac{5x-6}{2}$

3. 最終的な答え

$(g \circ f)(x) = \frac{2x-9}{5}$

$(f \circ g)(x) = \frac{5x-6}{2}$