与えられた2次方程式が重解を持つように定数 $k$ の値を定め、そのときの重解を求める問題です。 (1) $x^2 - 6x + 2k + 5 = 0$ (2) $x^2 + 2kx + k + 2 = 0$

1. 問題の内容

与えられた2次方程式が重解を持つように定数 $k$ の値を定め、そのときの重解を求める問題です。

(1) $x^2 - 6x + 2k + 5 = 0$

(2) $x^2 + 2kx + k + 2 = 0$

2. 解き方の手順

2次方程式が重解を持つ条件は、判別式 $D = b^2 - 4ac = 0$ となることです。

(1) の場合：

$a = 1$, $b = -6$, $c = 2k + 5$

判別式 $D = (-6)^2 - 4(1)(2k + 5) = 36 - 8k - 20 = 16 - 8k$

$D = 0$ となるように $k$ を定めます。

$16 - 8k = 0$

$8k = 16$

$k = 2$

$k = 2$ を与式に代入すると、$x^2 - 6x + 2(2) + 5 = 0$

$x^2 - 6x + 9 = 0$

$(x - 3)^2 = 0$

$x = 3$

(2) の場合：

$a = 1$, $b = 2k$, $c = k + 2$

判別式 $D = (2k)^2 - 4(1)(k + 2) = 4k^2 - 4k - 8$

$D = 0$ となるように $k$ を定めます。

$4k^2 - 4k - 8 = 0$

$k^2 - k - 2 = 0$

$(k - 2)(k + 1) = 0$

$k = 2$ または $k = -1$

$k = 2$ のとき、$x^2 + 2(2)x + 2 + 2 = 0$

$x^2 + 4x + 4 = 0$

$(x + 2)^2 = 0$

$x = -2$

$k = -1$ のとき、$x^2 + 2(-1)x + (-1) + 2 = 0$

$x^2 - 2x + 1 = 0$

$(x - 1)^2 = 0$

$x = 1$

3. 最終的な答え

(1)

$k = 2$

重解 $x = 3$

(2)

$k = 2$ のとき、重解 $x = -2$

$k = -1$ のとき、重解 $x = 1$