与えられた行列 $A = \begin{pmatrix} -2 & 3 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}$ によって、点 $P(3, 2)$, $Q(-1, 4)$, $R(2, -2)$ がそれぞれどのように変換されるか、つまり、それぞれの像 $P'$, $Q'$, $R'$ を求めよ。

1. 問題の内容

与えられた行列 $A = \begin{pmatrix} -2 & 3 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}$ によって、点 $P(3, 2)$, $Q(-1, 4)$, $R(2, -2)$ がそれぞれどのように変換されるか、つまり、それぞれの像 $P'$, $Q'$, $R'$ を求めよ。

2. 解き方の手順

点の像を求めるには、与えられた行列と点の座標を表す列ベクトルを掛け合わせます。

点 $P(x, y)$ の像 $P'(x', y')$ は、次のように計算できます。

$\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = A \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$

各点について、この計算を実行します。

(1) 点P(3, 2)について:

$\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 & 3 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (-2)(3) + (3)(2) \\ (-1)(3) + (2)(2) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -6 + 6 \\ -3 + 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}$

したがって、$P' = (0, 1)$です。

(2) 点Q(-1, 4)について:

$\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 & 3 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -1 \\ 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (-2)(-1) + (3)(4) \\ (-1)(-1) + (2)(4) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 + 12 \\ 1 + 8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 14 \\ 9 \end{pmatrix}$

したがって、$Q' = (14, 9)$です。

(3) 点R(2, -2)について:

$\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 & 3 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (-2)(2) + (3)(-2) \\ (-1)(2) + (2)(-2) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -4 - 6 \\ -2 - 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -10 \\ -6 \end{pmatrix}$

したがって、$R' = (-10, -6)$です。

3. 最終的な答え

$P' = (0, 1)$

$Q' = (14, 9)$

$R' = (-10, -6)$