2本の直線 $x=3$ と $y=2$ を漸近線とし、点 $(1, 1)$ を通る双曲線をグラフとする関数を $y = \frac{ax+b}{cx+d}$ の形で表す。

1. 問題の内容

2本の直線 $x=3$ と $y=2$ を漸近線とし、点 $(1, 1)$ を通る双曲線をグラフとする関数を $y = \frac{ax+b}{cx+d}$ の形で表す。

2. 解き方の手順

双曲線の漸近線が $x=3$ と $y=2$ であることから、関数は次のように表せる。

$y = \frac{a(x-3) + 2(cx+d)}{c(x-3)+d}$

これは、以下のように変形できる。

$y = \frac{ax - 3a + 2cx + 2d}{cx - 3c + d} = \frac{(a+2c)x + (2d-3a)}{cx + (d-3c)}$

与えられた関数と比較すると、以下のようになる。

$y = \frac{ax+b}{cx+d}$

ここで、係数を比較すると、

$a = a+2c$

$b = 2d-3a$

$c = c$

$d = d-3c$

最初の式より $a=a+2c \implies 2c = 0 \implies c=0$

４番目の式より $d=d-3c \implies 3c=0 \implies c=0$

$c=0$ より、関数は $y = \frac{ax+b}{d}$となり双曲線とならないので、

双曲線の標準形を考える。

漸近線が $x=3, y=2$ であることから、

$y = 2 + \frac{k}{x-3}$ という形になる。

これが点 $(1, 1)$ を通るので、

$1 = 2 + \frac{k}{1-3}$

$1 = 2 + \frac{k}{-2}$

$-1 = \frac{k}{-2}$

$k = 2$

よって、$y = 2 + \frac{2}{x-3} = \frac{2(x-3)+2}{x-3} = \frac{2x-6+2}{x-3} = \frac{2x-4}{x-3}$

3. 最終的な答え

$y = \frac{2x-4}{x-3}$